11.1 Équation de Dirac
255
b) Équation du premier ordre
Critiquant ces travaux, Dirac aboutit à l’idée que la seule donnée de la valeur initiale
de la fonction d’onde doit permettre d’obtenir son évolution ultérieure et qu’ainsi
l’équation d’onde doit être du premier ordre par rapport au temps. Comme le principe
de relativité fait toujours jouer un rôle symétrique aux coordonnées d’espace et de
temps, l’équation d’onde doit être aussi du premier ordre par rapport aux quatre
variables d’espace-temps.
C’est ce qu’a fait Dirac, dès 1928
¾
, en établissant une équation d’onde relativiste
de l’électron dans l’atome d’hydrogène. Dans cet atome, l’électron se déplace dans le
champ électrostatique créé par le proton. Il apparaît alors, dans le référentiel propre
de l’électron, un champ magnétique qui va interagir avec le spin de l’électron. Cette
interaction est appelée le couplage spin-orbite ; elle s’introduit à l’aide de la notion
de champ extérieur donné.
11.1.2 Équation d’onde de Dirac
L’équation à trouver est de la forme générale : Hc = i ∂c/∂t, où l’opérateur H
doit être linéaire et du premier ordre par rapport aux variables d’espace. L’équation
déduite de (11.1.4) par les règles de correspondance doit être une conséquence de
l’équation d’onde cherchée. De plus, cette dernière étant une équation relativiste,
elle doit être invariante lors d’une transformation de Lorentz-Poincaré.
a) Particule libre
En l’absence de champ, l’équation d’onde est cherchée sous une forme rappelant
l’équation (11.1.7) mais avec des opérateurs du premier ordre, soit :
(−P 0 + a·P + a 4 mc)c = 0
(11.1.8)
où le vecteur a a pour composantes des matrices a 1 , a 2 , a 3 , à déterminer ; la matrice a 4 est également à déterminer. La fonction d’onde c devra avoir un nombre de
composantes égal à l’ordre des matrices trouvées.
Puisque nous considérons une particule en mouvement dans un espace vide, tous
les points de l’espace sont équivalents et l’hamiltonien H ne doit pas dépendre des
variables d’espace-temps. Les matrices a j doivent donc être indépendantes de ces
variables et commutent donc avec les opérateurs P 0 , P 1 , P 2 , P 3 .
Supposons que l’équation (11.1.7) soit une conséquence des équations du premier
ordre cherchées. Pour obtenir une équation du second ordre, multiplions l’équation
(11.1.8) par l’opérateur (P 0 + a·P + a 4 mc) ; nous obtenons :
[−P
2
0 + (a·P + a 4 mc)
2 ]c = 0
(11.1.9)
Cette dernière équation peut être identifiée à l’équation (11.1.7) si l’on a les relations :
a j a k + a k a j = 2d jk ; j, k = 1, 2, 3, 4
(11.1.10)
2. P. A. M. DIRAC. Proc. of the Royal Society. A117, 610-624 (1928).
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b) Équation du premier ordre
Critiquant ces travaux, Dirac aboutit à l’idée que la seule donnée de la valeur initiale
de la fonction d’onde doit permettre d’obtenir son évolution ultérieure et qu’ainsi
l’équation d’onde doit être du premier ordre par rapport au temps. Comme le principe
de relativité fait toujours jouer un rôle symétrique aux coordonnées d’espace et de
temps, l’équation d’onde doit être aussi du premier ordre par rapport aux quatre
variables d’espace-temps.
C’est ce qu’a fait Dirac, dès 1928
¾
, en établissant une équation d’onde relativiste
de l’électron dans l’atome d’hydrogène. Dans cet atome, l’électron se déplace dans le
champ électrostatique créé par le proton. Il apparaît alors, dans le référentiel propre
de l’électron, un champ magnétique qui va interagir avec le spin de l’électron. Cette
interaction est appelée le couplage spin-orbite ; elle s’introduit à l’aide de la notion
de champ extérieur donné.
11.1.2 Équation d’onde de Dirac
L’équation à trouver est de la forme générale : Hc = i ∂c/∂t, où l’opérateur H
doit être linéaire et du premier ordre par rapport aux variables d’espace. L’équation
déduite de (11.1.4) par les règles de correspondance doit être une conséquence de
l’équation d’onde cherchée. De plus, cette dernière étant une équation relativiste,
elle doit être invariante lors d’une transformation de Lorentz-Poincaré.
a) Particule libre
En l’absence de champ, l’équation d’onde est cherchée sous une forme rappelant
l’équation (11.1.7) mais avec des opérateurs du premier ordre, soit :
(−P 0 + a·P + a 4 mc)c = 0
(11.1.8)
où le vecteur a a pour composantes des matrices a 1 , a 2 , a 3 , à déterminer ; la matrice a 4 est également à déterminer. La fonction d’onde c devra avoir un nombre de
composantes égal à l’ordre des matrices trouvées.
Puisque nous considérons une particule en mouvement dans un espace vide, tous
les points de l’espace sont équivalents et l’hamiltonien H ne doit pas dépendre des
variables d’espace-temps. Les matrices a j doivent donc être indépendantes de ces
variables et commutent donc avec les opérateurs P 0 , P 1 , P 2 , P 3 .
Supposons que l’équation (11.1.7) soit une conséquence des équations du premier
ordre cherchées. Pour obtenir une équation du second ordre, multiplions l’équation
(11.1.8) par l’opérateur (P 0 + a·P + a 4 mc) ; nous obtenons :
[−P
2
0 + (a·P + a 4 mc)
2 ]c = 0
(11.1.9)
Cette dernière équation peut être identifiée à l’équation (11.1.7) si l’on a les relations :
a j a k + a k a j = 2d jk ; j, k = 1, 2, 3, 4
(11.1.10)
2. P. A. M. DIRAC. Proc. of the Royal Society. A117, 610-624 (1928).