254
11 • Structure fine de l’atome d’hydrogène
11.1 ÉQUATION DE DIRAC
11.1.1 Hamiltonien relativiste
Dans un atome, l’interaction magnétique des particules entre elles est un effet relativiste et sa prise en considération nécessite une théorie faisant appel à la relativité
restreinte. En mécanique relativiste, chaque particule est caractérisée par une grandeur invariante m, sa masse au repos. Lorsque la particule est en mouvement libre,
son énergie est :
E = mc
2 (1 − b
2 )
−1/2
(11.1.1)
avec b = v/c, où v est la vitesse de la particule. Lorsque celle-ci possède une charge
q et se déplace dans un champ électromagnétique, défini par un potentiel scalaire V
et un potentiel vecteur
− →
A , l’énergie de la particule est alors :
E = mc
2 (1 − b
2 )
−1/2 + qV
(11.1.2)
et son impulsion :
− →
p = m
− →
v (1 − b
2 )
−1/2 + q
− →
A
(11.1.3)
Les composantes de
− →
p et la quantité E/c forment les composantes d’un quadrivecteur d’espace-temps. Les équations (11.1.2) et (11.1.3) nous fournissent la relation :
1
c 2 (E − qV )
2
−
− → p − q
− →
A
2 − m
2 c
2 = 0
(11.1.4)
En résolvant (11.1.4) par rapport à E, on obtient une expression de E qui est la fonction hamiltonienne relativiste ; ce n’est pas une fonction rationnelle.
a) Équation de Klein-Gordon
Pour une particule libre, l’équation (11.1.4) se réduit à :
(E/c)
2
− − → p
2
− m
2 c
2 = 0
(11.1.5)
Klein et Gordon ont suggéré que l’équation d’onde de la théorie quantique relativiste pouvait être obtenue en utilisant les mêmes règles de correspondance, entre
grandeur physique et opérateur, qu’en théorie non-relativiste. Notons P 0 l’opérateur
correspondant à E/c :
E
c
→
i
c
∂
∂t
= P 0
(11.1.6)
En substituant les opérateurs quantiques dans l’équation (11.1.5), on obtient l’équation de Klein-Gordon :
(P
2
0 − P
2
− m
2 c
2 )c = 0
(11.1.7)
C’est une équation aux dérivées partielles du second ordre par rapport aux variables
d’espace mais également de temps. Une substitution analogue peut être faite dans
l’équation (11.1.4) pour une particule dans un champ électromagnétique mais les
solutions de l’équation ainsi obtenue conduisent à des résultats physiquement inacceptables.
11 • Structure fine de l’atome d’hydrogène
11.1 ÉQUATION DE DIRAC
11.1.1 Hamiltonien relativiste
Dans un atome, l’interaction magnétique des particules entre elles est un effet relativiste et sa prise en considération nécessite une théorie faisant appel à la relativité
restreinte. En mécanique relativiste, chaque particule est caractérisée par une grandeur invariante m, sa masse au repos. Lorsque la particule est en mouvement libre,
son énergie est :
E = mc
2 (1 − b
2 )
−1/2
(11.1.1)
avec b = v/c, où v est la vitesse de la particule. Lorsque celle-ci possède une charge
q et se déplace dans un champ électromagnétique, défini par un potentiel scalaire V
et un potentiel vecteur
− →
A , l’énergie de la particule est alors :
E = mc
2 (1 − b
2 )
−1/2 + qV
(11.1.2)
et son impulsion :
− →
p = m
− →
v (1 − b
2 )
−1/2 + q
− →
A
(11.1.3)
Les composantes de
− →
p et la quantité E/c forment les composantes d’un quadrivecteur d’espace-temps. Les équations (11.1.2) et (11.1.3) nous fournissent la relation :
1
c 2 (E − qV )
2
−
− → p − q
− →
A
2 − m
2 c
2 = 0
(11.1.4)
En résolvant (11.1.4) par rapport à E, on obtient une expression de E qui est la fonction hamiltonienne relativiste ; ce n’est pas une fonction rationnelle.
a) Équation de Klein-Gordon
Pour une particule libre, l’équation (11.1.4) se réduit à :
(E/c)
2
− − → p
2
− m
2 c
2 = 0
(11.1.5)
Klein et Gordon ont suggéré que l’équation d’onde de la théorie quantique relativiste pouvait être obtenue en utilisant les mêmes règles de correspondance, entre
grandeur physique et opérateur, qu’en théorie non-relativiste. Notons P 0 l’opérateur
correspondant à E/c :
E
c
→
i
c
∂
∂t
= P 0
(11.1.6)
En substituant les opérateurs quantiques dans l’équation (11.1.5), on obtient l’équation de Klein-Gordon :
(P
2
0 − P
2
− m
2 c
2 )c = 0
(11.1.7)
C’est une équation aux dérivées partielles du second ordre par rapport aux variables
d’espace mais également de temps. Une substitution analogue peut être faite dans
l’équation (11.1.4) pour une particule dans un champ électromagnétique mais les
solutions de l’équation ainsi obtenue conduisent à des résultats physiquement inacceptables.