Exercices
251
On obtient, par raison de symétrie : A = constante. Le vecteur A étant tangent à chaque
élément dl des lignes de champ, il vient, sur un cercle de rayon R :
G
A·dl =
G
A dl = A2pR = F
(2)
d’où :
A =
F
2pR
(3)
3. L’expression générale d’une onde plane associée à un faisceau d’électrons monocinétiques, d’énergie E, est :
c(r, t) = C exp
−
i
(p·r − Et)
(4)
où p est l’impulsion de l’électron. Soit −e 0 la charge de l’électron ; son impulsion est liée à
la quantité de mouvement et au potentiel vecteur A par :
p = mv − e 0 A
(5)
d’où l’expression de la fonction d’onde :
c(r, t) = C exp
−
i
(mv·r − e 0 A·r − Et)
(6)
4. Pour calculer le déphasage entre deux faisceaux d’électrons, il suffit de calculer la variation
de A·r entre les points F 1 (r 1 ) et F 2 (r 2 ). En effet, vu l’aspect symétrique des deux faisceaux,
ni le terme mv.r ni le terme Et ne produisent de déphasage. Il n’en est pas de même pour le
terme A.r, dont A aux points F 1 et F 2 n’est pas symétrique par rapport au plan médian.
La circulation de A le long d’un circuit fermé SF 1 MF 2 S, donne, selon la relation (2) :
e 0
G
A·dl =
e 0
F
(7)
On obtient un déphasage égal à :
Dw =
e 0
F
(8)
La frange centrale en M, obtenue sans potentiel vecteur, est décalée en fonction du déphasage
Dw.
Résultats expérimentaux. Ce fut seulement en 1986 que des chercheurs japonais réussirent une expérience probante mettant en évidence l’effet AharonovBohm en réalisant un montage différent de celui proposé à l’origine par ses
auteurs.
Le confinement du champ magnétique fut réalisé par A. Tonomura et ses collègues en utilisant un matériau magnétique en forme de tore ce qui donne un
champ magnétique circulaire pratiquement confiné dans le tore et un potentiel
vecteur non nul au centre du tore. Pour assurer un confinement presque parfait,
l’aimant torique, d’un diamètre de 5 micromètres, fut recouvert de niobium
qui, à 9,1 K, devient supraconducteur.
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On obtient, par raison de symétrie : A = constante. Le vecteur A étant tangent à chaque
élément dl des lignes de champ, il vient, sur un cercle de rayon R :
G
A·dl =
G
A dl = A2pR = F
(2)
d’où :
A =
F
2pR
(3)
3. L’expression générale d’une onde plane associée à un faisceau d’électrons monocinétiques, d’énergie E, est :
c(r, t) = C exp
−
i
(p·r − Et)
(4)
où p est l’impulsion de l’électron. Soit −e 0 la charge de l’électron ; son impulsion est liée à
la quantité de mouvement et au potentiel vecteur A par :
p = mv − e 0 A
(5)
d’où l’expression de la fonction d’onde :
c(r, t) = C exp
−
i
(mv·r − e 0 A·r − Et)
(6)
4. Pour calculer le déphasage entre deux faisceaux d’électrons, il suffit de calculer la variation
de A·r entre les points F 1 (r 1 ) et F 2 (r 2 ). En effet, vu l’aspect symétrique des deux faisceaux,
ni le terme mv.r ni le terme Et ne produisent de déphasage. Il n’en est pas de même pour le
terme A.r, dont A aux points F 1 et F 2 n’est pas symétrique par rapport au plan médian.
La circulation de A le long d’un circuit fermé SF 1 MF 2 S, donne, selon la relation (2) :
e 0
G
A·dl =
e 0
F
(7)
On obtient un déphasage égal à :
Dw =
e 0
F
(8)
La frange centrale en M, obtenue sans potentiel vecteur, est décalée en fonction du déphasage
Dw.
Résultats expérimentaux. Ce fut seulement en 1986 que des chercheurs japonais réussirent une expérience probante mettant en évidence l’effet AharonovBohm en réalisant un montage différent de celui proposé à l’origine par ses
auteurs.
Le confinement du champ magnétique fut réalisé par A. Tonomura et ses collègues en utilisant un matériau magnétique en forme de tore ce qui donne un
champ magnétique circulaire pratiquement confiné dans le tore et un potentiel
vecteur non nul au centre du tore. Pour assurer un confinement presque parfait,
l’aimant torique, d’un diamètre de 5 micromètres, fut recouvert de niobium
qui, à 9,1 K, devient supraconducteur.