250
10 • Spin
De manière générale, les champs électrique E et magnétique B sont liés
aux potentiels par les relations :
E = −∇V ; B = ∇ × A
(1)
En conséquence, si E et B sont nuls, ces équations ont pour solutions indépendantes du temps :
V = constante ; A = ∇F
(2)
où F est une fonction arbitraire puisque le rotationnel d’un gradient est nul.
S
F 1
F 2
M
A
Figure 10.4
Aharonov et Bohm proposèrent
alors une expérience d’interférences, du type des fentes
d’Young (figure 10.4), réalisée
avec des électrons, en plaçant
derrière l’écran perforé un aimant blindé donnant, à l’extérieur du blindage, un champ
magnétique nul et un potentiel vecteur non nul. La présence de l’aimant
devait décaler les franges d’interférences car le potentiel vecteur change
différemment les phases des fonctions d’onde des électrons passant audessus ou au-dessous de l’aimant, la circulation de A changeant de signe
selon le parcours considéré.
L’exercice suivant montre le principe de l’effet Aharonov-Bohm sous l’effet d’un potentiel vecteur. On considère l’expérience décrite par la figure
10.4 où un solénoïde très long, placé parallèlement derrière l’écran perforé, engendre un champ magnétique confiné à l’intérieur du bobinage et
un potentiel vecteur A non nul à l’extérieur.
1. Quelles sont les formes des lignes de champ du potentiel vecteur ?
2. Soient G une ligne fermée de champ et S la surface délimitée par G ; soit
F le flux magnétique qui passe à travers S. Calculer l’expression de A en
fonction du flux F.
3. Écrire l’expression de la fonction d’onde associée à un faisceau d’électrons monocinétiques traversant un champ de potentiel vecteur A.
4. Déterminer le déphasage entre les deux ondes qui arrivent au point médian M (figure 10.4).
Solution.
1. Les lignes de champ du potentiel vecteur sont des cercles centrés sur l’axe du solénoïde et
le potentiel vecteur A est, par définition des lignes de champ, tangent à ces cercles.
2. Selon le théorème de Stokes, la circulation d’un vecteur A le long d’un contour fermé G
est égale au flux du rotationnel de A à travers la surface S quelconque qui s’appuie sur G.
Avec B = rot A, il vient le long d’une ligne de champ :
G
A·dl =
S
rotA·dS =
S
B·dS = F
(1)
10 • Spin
De manière générale, les champs électrique E et magnétique B sont liés
aux potentiels par les relations :
E = −∇V ; B = ∇ × A
(1)
En conséquence, si E et B sont nuls, ces équations ont pour solutions indépendantes du temps :
V = constante ; A = ∇F
(2)
où F est une fonction arbitraire puisque le rotationnel d’un gradient est nul.
S
F 1
F 2
M
A
Figure 10.4
Aharonov et Bohm proposèrent
alors une expérience d’interférences, du type des fentes
d’Young (figure 10.4), réalisée
avec des électrons, en plaçant
derrière l’écran perforé un aimant blindé donnant, à l’extérieur du blindage, un champ
magnétique nul et un potentiel vecteur non nul. La présence de l’aimant
devait décaler les franges d’interférences car le potentiel vecteur change
différemment les phases des fonctions d’onde des électrons passant audessus ou au-dessous de l’aimant, la circulation de A changeant de signe
selon le parcours considéré.
L’exercice suivant montre le principe de l’effet Aharonov-Bohm sous l’effet d’un potentiel vecteur. On considère l’expérience décrite par la figure
10.4 où un solénoïde très long, placé parallèlement derrière l’écran perforé, engendre un champ magnétique confiné à l’intérieur du bobinage et
un potentiel vecteur A non nul à l’extérieur.
1. Quelles sont les formes des lignes de champ du potentiel vecteur ?
2. Soient G une ligne fermée de champ et S la surface délimitée par G ; soit
F le flux magnétique qui passe à travers S. Calculer l’expression de A en
fonction du flux F.
3. Écrire l’expression de la fonction d’onde associée à un faisceau d’électrons monocinétiques traversant un champ de potentiel vecteur A.
4. Déterminer le déphasage entre les deux ondes qui arrivent au point médian M (figure 10.4).
Solution.
1. Les lignes de champ du potentiel vecteur sont des cercles centrés sur l’axe du solénoïde et
le potentiel vecteur A est, par définition des lignes de champ, tangent à ces cercles.
2. Selon le théorème de Stokes, la circulation d’un vecteur A le long d’un contour fermé G
est égale au flux du rotationnel de A à travers la surface S quelconque qui s’appuie sur G.
Avec B = rot A, il vient le long d’une ligne de champ :
G
A·dl =
S
rotA·dS =
S
B·dS = F
(1)