Exercices
249
On a évidemment P×P = 0 et A×A = 0. Cependant, le produit vectoriel (P−qA)×(P−qA)
ne s’annule pas en vertu de la non-commutativité entre P et A. Appliquons les opérateurs
P × A et A × P, en réalisation-|r, à une fonction c(r). La composante selon l’axe Ox s’écrit :
(P × A) x c = −i (∇ × A) x c = −i
∂
∂y
(A z c) −
∂
∂z
(A y c)
(2)
(A × P) x c = −i (A × ∇) x c = −i
A y
∂
∂z
c − A z
∂
∂y
c
(3)
Développons les dérivées partielles de (2) ; la somme de (2) et (3) devient :
[(P × A) x + (A × P) x ]c = −i
∂A z
∂y
−
∂A y
∂z
c = −i (∇ × A) x c
(4)
On obtient des relations analogues à (4) pour les autres composantes, d’où :
(P − qA) × (P − qA)c = i q(∇ × A)c = i q rot Ac
(5)
La fonction c étant arbitraire, on obtient la relation demandée.
Exercice 10.8. Effet Aharonov-Bohm
Le facteur global de phase d’un état quantique peut toujours être choisi
de manière arbitraire. On a vu en effet au cours de ce chapitre qu’un certain nombre de propriétés quantiques, telles la probabilité de présence ou
le courant de probabilité, sont indépendantes du facteur de phase. Il n’en
est pas de même pour les facteurs relatifs intervenant dans les phénomènes
d’interférences où la phase des particules qui interfèrent joue un rôle fondamental.
Une hypothèse originale a été proposée en 1959 par Y. Aharonov et
D. Bohm en ce qui concerne la variation de phase des fonctions d’onde
sous l’influence d’un potentiel électrique scalaire V ou d’un potentiel
vecteur A. Ce sont en effet ces derniers qui figurent dans l’équation de
Schrödinger d’une particule chargée plongée dans un champ électromagnétique. Dans les cas où les champs électrique E et magnétique B sont
nuls dans certaines parties de l’espace, alors que les potentiels V et A ne
sont pas nuls dans ces mêmes parties, ces derniers ont-ils une influence sur
les fonctions d’onde ?
Des exemples de telles situations sont classiques. C’est le cas d’un solénoïde de longueur infinie : le champ magnétique B est localisé à l’intérieur
du solénoïde et nul à l’extérieur. Par contre, le potentiel vecteur A à l’extérieur du solénoïde est tangent aux cercles centrés sur l’axe du solénoïde et
formant les lignes de champ.
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On a évidemment P×P = 0 et A×A = 0. Cependant, le produit vectoriel (P−qA)×(P−qA)
ne s’annule pas en vertu de la non-commutativité entre P et A. Appliquons les opérateurs
P × A et A × P, en réalisation-|r, à une fonction c(r). La composante selon l’axe Ox s’écrit :
(P × A) x c = −i (∇ × A) x c = −i
∂
∂y
(A z c) −
∂
∂z
(A y c)
(2)
(A × P) x c = −i (A × ∇) x c = −i
A y
∂
∂z
c − A z
∂
∂y
c
(3)
Développons les dérivées partielles de (2) ; la somme de (2) et (3) devient :
[(P × A) x + (A × P) x ]c = −i
∂A z
∂y
−
∂A y
∂z
c = −i (∇ × A) x c
(4)
On obtient des relations analogues à (4) pour les autres composantes, d’où :
(P − qA) × (P − qA)c = i q(∇ × A)c = i q rot Ac
(5)
La fonction c étant arbitraire, on obtient la relation demandée.
Exercice 10.8. Effet Aharonov-Bohm
Le facteur global de phase d’un état quantique peut toujours être choisi
de manière arbitraire. On a vu en effet au cours de ce chapitre qu’un certain nombre de propriétés quantiques, telles la probabilité de présence ou
le courant de probabilité, sont indépendantes du facteur de phase. Il n’en
est pas de même pour les facteurs relatifs intervenant dans les phénomènes
d’interférences où la phase des particules qui interfèrent joue un rôle fondamental.
Une hypothèse originale a été proposée en 1959 par Y. Aharonov et
D. Bohm en ce qui concerne la variation de phase des fonctions d’onde
sous l’influence d’un potentiel électrique scalaire V ou d’un potentiel
vecteur A. Ce sont en effet ces derniers qui figurent dans l’équation de
Schrödinger d’une particule chargée plongée dans un champ électromagnétique. Dans les cas où les champs électrique E et magnétique B sont
nuls dans certaines parties de l’espace, alors que les potentiels V et A ne
sont pas nuls dans ces mêmes parties, ces derniers ont-ils une influence sur
les fonctions d’onde ?
Des exemples de telles situations sont classiques. C’est le cas d’un solénoïde de longueur infinie : le champ magnétique B est localisé à l’intérieur
du solénoïde et nul à l’extérieur. Par contre, le potentiel vecteur A à l’extérieur du solénoïde est tangent aux cercles centrés sur l’axe du solénoïde et
formant les lignes de champ.