248
10 • Spin
Le champ magnétique étant parallèle à Oz, le terme s·B se réduit à :
s·B = s z B z = s z B
(8)
On en déduit :
[H 0 + v L (L z + s z )]|z = E|z
(9)
avec H 0 = P
2 /2m + qV, v L = −qB/2m. L’équation (9) s’écrit, en réalisation-|r, ´ :
H 0 + v L L z + v L
1
0
0 −1
c +
c −
= E
c +
c −
(10)
4. Le développement de (10) nous donne deux équations découplées :
H 0 c + + v L (L z + )c + = Ec +
(11)
H 0 c − + v L (L z − )c − = Ec −
(12)
Puisque les fonctions d’onde c nlm (r, u, w) sont des fonctions propres de H 0 et L z , avec :
H 0 c nlm = E
0
n c nlm ; L z c nlm = mc nlm
(13)
ces fonctions sont aussi des solutions des équations (11) et (12). Les fonctions d’onde ne sont
pas modifiées dans l’approximation A
2 = 0. Les énergies propres de H 0 sont scindées en
sous-niveaux sous l’action du champ magnétique :
E
(+)
n = E
0
n + v L (m + 1)
(état c + )
(14)
E
(−)
n
= E
0
n + v L (m − 1)
(état c − )
(15)
5. Le niveau 1s (m = 0) est scindé en deux sous-niveaux. Ceci montre l’existence du spin
car, dans l’état 1s, l’atome ne possède pas de moment magnétique orbital.
Le niveau 2p se scinde en cinq sous-niveaux, l’un d’eux étant doublement dégénéré. En effet,
les variations d’énergie v L (m ± 1) sont les suivantes pour m = 1, 0, −1 :
état c + : 2v L , v L , 0 ; état c − : 0, −v L , −2v L
(16)
Il y aura apparition de nouvelles raies spectrales, par rapport à la raie d’origine, lors de l’application d’un champ magnétique sur l’atome.
Exercice 10.7. Identité entre opérateurs
Démontrer l’identité : (P − qA) × (P − qA) = i q(∇ × A) = i q rot A.
Solution.
On peut développer le produit vectoriel en utilisant sa distributivité par rapport à l’addition :
(P − qA) × (P − qA) = P × P − qP × A − qA × P + q
2 A × A
(1)
10 • Spin
Le champ magnétique étant parallèle à Oz, le terme s·B se réduit à :
s·B = s z B z = s z B
(8)
On en déduit :
[H 0 + v L (L z + s z )]|z = E|z
(9)
avec H 0 = P
2 /2m + qV, v L = −qB/2m. L’équation (9) s’écrit, en réalisation-|r, ´ :
H 0 + v L L z + v L
1
0
0 −1
c +
c −
= E
c +
c −
(10)
4. Le développement de (10) nous donne deux équations découplées :
H 0 c + + v L (L z + )c + = Ec +
(11)
H 0 c − + v L (L z − )c − = Ec −
(12)
Puisque les fonctions d’onde c nlm (r, u, w) sont des fonctions propres de H 0 et L z , avec :
H 0 c nlm = E
0
n c nlm ; L z c nlm = mc nlm
(13)
ces fonctions sont aussi des solutions des équations (11) et (12). Les fonctions d’onde ne sont
pas modifiées dans l’approximation A
2 = 0. Les énergies propres de H 0 sont scindées en
sous-niveaux sous l’action du champ magnétique :
E
(+)
n = E
0
n + v L (m + 1)
(état c + )
(14)
E
(−)
n
= E
0
n + v L (m − 1)
(état c − )
(15)
5. Le niveau 1s (m = 0) est scindé en deux sous-niveaux. Ceci montre l’existence du spin
car, dans l’état 1s, l’atome ne possède pas de moment magnétique orbital.
Le niveau 2p se scinde en cinq sous-niveaux, l’un d’eux étant doublement dégénéré. En effet,
les variations d’énergie v L (m ± 1) sont les suivantes pour m = 1, 0, −1 :
état c + : 2v L , v L , 0 ; état c − : 0, −v L , −2v L
(16)
Il y aura apparition de nouvelles raies spectrales, par rapport à la raie d’origine, lors de l’application d’un champ magnétique sur l’atome.
Exercice 10.7. Identité entre opérateurs
Démontrer l’identité : (P − qA) × (P − qA) = i q(∇ × A) = i q rot A.
Solution.
On peut développer le produit vectoriel en utilisant sa distributivité par rapport à l’addition :
(P − qA) × (P − qA) = P × P − qP × A − qA × P + q
2 A × A
(1)