Exercices
247
Chaque composante du spineur z satisfait à l’équation de Schrödinger. On obtient de même,
en éliminant à présent z à partir des équation (10.4.24) :
[(s·P)
2
− 2mE]x = 0
( 3 )
d’où l’équation de Schrödinger : (P
2
−2mE)x = 0. Chaque composante du spineur x satisfait
également à l’équation de Schrödinger.
Exercice 10.6. Atome d’hydrogène dans un champ magnétique
Un atome d’hydrogène est plongé dans un faible champ magnétique statique, homogène et dirigé selon l’axe Oz, soit B = (0, 0, B). On négligera
l’interaction spin-orbite. On notera par q la charge −e 0 de l’électron.
1. Montrer que le potentiel vecteur A ayant pour composantes :
A x = −
1
2
By ; A y =
1
2
Bx ; A z = 0
(1)
vérifie les équations : B = ∇ × A et ∇·A = 0.
2. Montrer que (P − qA)
2 = P
2
−qBL z , en négligeant le terme q
2 A
2 .
3. Écrire l’équation de Pauli pour les états stationnaires du système. On
note : v L = −qB/2m.
4. Déterminer les composantes du spineur décrivant les états de l’électron
de l’atome et les niveaux d’énergie correspondants.
5. Étudier la décomposition des niveaux 1s et 2p.
Solution.
1. On vérifie aisément que ∇·A = 0. Les composantes du champ magnétique B = (0, 0, B)
ayant en effet pour expression :
B x =
∂A z
∂y
−
∂A y
∂z
= 0 ; B y =
∂A x
∂z
−
∂A z
∂x
= 0 ; B z =
∂A y
∂x
−
∂A x
∂y
= B (2)
ces trois équations sont vérifiées pour le potentiel vecteur donné par (1).
2. Développons le produit (P − qA)
2 ; il vient :
(P − qA)
2 = P
2
− qP·A − qA·P + q
2 A
2
(3)
Les termes P·A et A·P s’écrivent, en réalisation-|r :
P·A = −i
∂A x
∂x
+
∂A y
∂y
+
∂A z
∂z
+ A·P = −i ∇·A + A·P
(4)
A·P =
B
2
(xP y − yP x ) =
B
2
L z
(5)
d’où :
(P − qA)
2 = P
2
− qBL z , puisque ∇·A = 0.
(6)
3. Pour les états stationnaires, l’équation de Pauli s’écrit, selon (10.4.31), compte tenu de (6) :
P
2
2m
+ qV −
qB
2m
L z −
q
2m
s·B
|z = E|z
(7)