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10 • Spin
Exercice 10.4. Hamiltonien d’une particule dans un champ
électromagnétique
1. Calculer l’expression de l’impulsion p d’une particule dont le lagrangien
est donné, selon l’exercice 10.3, par :
L (r, ˙
r, t) =
1
2
m ˙
r
2
− qV(r, t) + q ˙
r·A(r, t)
(1)
2. Déterminer l’expression de la fonction de Hamilton définie par :
H (r, p, t) = p·˙ r − L
(2)
Solution.
1. Les moments conjugués sont donnés par :
p x =
∂L
∂ ˙
x
= m˙ x + qA x ; p y =
∂L
∂ ˙
y
= m˙ y + qA y ; p z =
∂L
∂˙ z
= m˙ z + qA z
(3)
Ces composantes donnent pour expression de l’impulsion :
p = m ˙
r + qA = mv + qA
(4)
L’impulsion p de la particule ne coïncide plus avec la quantité de mouvement mv.
2. La fonction de Hamilton s’exprime en fonction de p. Utilisant l’expression (4), on a :
˙
r =
1
m
(p − qA)
( 5 )
La relation (2) s’écrit, compte tenu de (1) et (5) :
H (r, p, t) =
1
m
p·(p − qA) −
1
2m
(p − qA)
2 + qV −
q
m
(p − qA)·A
(6)
Le regroupement des termes de (6) conduit à :
H (r, p, t) =
1
2m
[p − qA(r, t)]
2 + qV(r, t)
( 7 )
Exercice 10.5. Équation de Schrödinger des spineurs de Pauli
Montrer que les composantes des spineurs z et x, définis par (10.4.23),
vérifient l’équation ordinaire de Schrödinger d’une particule libre.
Solution.
Les équations (10.4.24) donnent, en éliminant x :
[E −
1
2m
(s·P)
2 ]z = 0
( 1 )
Selon la relation (10.2.9), on a : (s·P)
2 = P
2 , d’où :
E −
P
2
2m
z =
E −
P
2
2m
z 1
z 2
= 0
( 2 )