Exercices
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2. Écrire l’expression de la dérivée totale par rapport au temps des composantes du potentiel vecteur A.
3. Transformer les équations de Lagrange en utilisant les relations :
E = −∇V − ∂A/∂t ; B = ∇ × A
(4)
Comparer ces équations avec les projections de l’équation (1) du mouvement sur les axes cartésiens.
Solution.
1. La fonction de Lagrange (2) s’écrit en coordonnées cartésiennes :
L (r, ˙
r, t) =
1
2
m(˙ x
2 + ˙
y
2 + ˙
z
2 ) − qV + q(˙ xA x + ˙
yA y + ˙
zA z )
( 5 )
Écrivons l’équation de Lagrange pour la coordonnée x, les autres équations, pour y et z, étant
analogues. Il vient :
∂L
∂ ˙
x
= m˙ x + qA x ;
∂L
∂x
= −q
∂V
∂x
+ q
˙
x
∂A x
∂x
+ ˙
y
∂A y
∂x
+ ˙
z
∂A z
∂x
(6)
L’équation de Lagrange pour la coordonnée x s’écrit ainsi :
d
dt
(m˙ x + qA x ) + q
∂V
∂x
− q
˙
x
∂A x
∂x
+ ˙
y
∂A y
∂x
+ ˙
z
∂A z
∂x
= 0
( 7 )
2. La composante A x (r, t) a pour dérivée totale par rapport au temps :
dA x
dt
=
∂A x
∂t
+ ˙
x
∂A x
∂x
+ ˙
y
∂A x
∂y
+ ˙
z
∂A x
∂z
(8)
L’équation (7) devient, compte tenu de (8) :
m¨ x = q
−
∂V
∂x
−
∂A x
∂t
+ ˙
y
∂A y
∂x
−
∂A x
∂y
− ˙
z
∂A x
∂z
−
∂A z
∂x
(9)
3. La composante du champ E, selon l’axe Ox, est :
E x = −
∂V
∂x
−
∂A x
∂t
(10)
et les composantes B z et B y du champ B sont données par :
B z =
∂A y
∂x
−
∂A x
∂y
; B y =
∂A x
∂z
−
∂A z
∂x
(11)
En reportant ces expressions des composantes dans l’équation (9), il vient :
m¨ x = q(E x + ˙
yB z − ˙
zB y )
(12)
En comparant l’équation (12) avec la projection de l’équation de Newton (1), sur l’axe Ox, on
voit que ces expressions sont identiques. On obtient des résultats analogues pour les projections sur les axes Oy et Oz. L’équation du mouvement (1) est donc équivalente aux équations
de Lagrange lorsqu’on choisit pour lagrangien celui de l’équation (2).