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10 • Spin
Pour j = 1/2, on a donc : S ± |
1
2
, ±
1
2
= 0. En utilisant la notation des vecteurs de base, avec
|
1
2
, ±
1
2
= |±±, on obtient :
S ± |±± = (S x ± iS y )|±± = 0 ; S − |+ = |−− ; S + |−− = |+
(6)
En combinant les relations (6), on obtient :
S x |±± =
2
|∓∓ ; S y |±± = ±i
2
|∓∓
(7)
3. En cherchant les vecteurs propres sous la forme : |c = |+ + a|−−, on déduit des relations (7) :
S x (|+ + a|−−) =
2
(|−− + a|+) = l(|+ + a|−−)
S y (|+ + a|−−) = i
2
(|−− − a|+) = l(|+ + a|−−)
(8)
En identifiant les coefficients des vecteurs |+ et |−− dans la relation (8), on obtient évidemment les mêmes relations que (2) et les vecteurs propres de S x et S y s’écrivent, sur la base
{|+, |−−} :
|c
(±)
x
=
1
√
2
(|+ ± |−−) ; |c
(±)
y
=
1
√
2
(|+ ± i|−−)
( 9 )
On retrouve les expressions (3) et (4) associées aux vecteurs d’état.
Exercice 10.3. Lagrangien d’une particule dans un champ
électro-magnétique
Rappelons que dans un champ électromagnétique, une particule de charge
q est soumise à la force de Lorentz : F = q(E + v × B), v étant la vitesse de
la particule ; E et B, les champs électrique et magnétique. La loi de Newton
donne l’équation du mouvement de cette particule, soit :
m ¨
r = q[E(r, t) + ˙
r × B(r, t)]
(1)
Soient respectivement V(r, t) et A(r, t) le potentiel électrique et le potentiel vecteur du champ électromagnétique. On se propose de montrer que le
lagrangien suivant :
L (r, ˙
r, t) =
1
2
m ˙
r
2
− qV(r, t) + q ˙
r·A(r, t)
(2)
permet de retrouver l’équation (1) du mouvement à partir des équations de
Lagrange :
d
dt
∂L
∂ ˙
q i
−
∂L
∂q i
= 0
(3)
où q i représente une coordonnée généralisée et ˙
q i sa dérivée par rapport au
temps.
1. En utilisant les coordonnées cartésiennes, écrire les équations de Lagrange avec le lagrangien (2).