Exercices
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est l’expression du produit scalaire A·B. Quant aux termes
ij
´ ijk A i B j , ils forment les
composantes (A × B) k , k = 1, 2, 3, du produit vectoriel (A × B), d’où :
i
k
(A × B) k s k = is·(A × B)
( 4 )
La somme des résultats (3) et (4) correspond à la relation demandée.
Exercice 10.2. Vecteurs propres des opérateurs de spin
Soient h 1 et h 2 les spineurs (10.2.11) formant la base canonique de l’espace des spineurs.
1. Calculer les expressions des spineurs propres de S x et S y sur la base
canonique.
2. En utilisant les propriétés générales des opérateurs de moment cinétique,
écrire l’action de S ± = S x ± iS y , ainsi que de S x et S y , sur les vecteurs d’état
|+ et |−−, où |±± = |s, ±s =
1
2 , ±
1
2
.
3. En déduire les expressions des états propres de S x et S y sur la base {|+,
|−−} des vecteurs d’état.
Solution.
1. Cherchons les spineurs propres de S x sous la forme : x = h 1 + ah 2 , d’où :
S x x =
2
0 1
1 0
1
0
+ a
0
1
= l
1
0
+ a
0
1
(1)
En développant les produits matriciels et identifiant entre eux les éléments matriciels des
deux termes de l’égalité (1), il vient :
2
a = l ;
2
= la
(2)
Les valeurs propres sont égales à : l = ± /2, et a = ±1, d’où les spineurs propres de S x
sur la base naturelle, après normalisation :
h
(±)
x
=
1
√
2
(h 1 ± h 2 )
( 3 )
Un calcul analogue avec la matrice représentant l’opérateur S y donne :
h
(±)
y
=
1
√
2
(h 1 ± ih 2 )
( 4 )
2. Les propriétés du moment cinétique sur les vecteurs de la base | j, m j des représentations
de SO(3) sont, selon (6.2.17) et (6.2.18) :
J ± | j, ±j = 0
( 5 )