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10 • Spin
Utilisons à présent l’identité suivante (exercice 10.7) :
(P − qA) × (P − qA) = i q(∇ × A) = i q rot A
(10.4.29)
ainsi que la formule : (s·C)(s·D) = C·D+is·(C×D) (exercice 10.1) dans laquelle
on pose : C = D = P − qA . L’équation (10.4.28) s’écrit alors :
E − qV −
1
2m
(P − qA)
2 +
q
2m
s·(∇ × A)
z = 0
(10.4.30)
Puisque B = ∇ × A, l’équation (10.4.30) devient :
E − qV −
1
2m
(P − qA)
2 +
q
2m
s·B
z = 0
(10.4.31)
C’est précisément l’équation de Pauli, donnée par (10.4.9) dans le cas de l’électron.
Le terme −(q /2m)s·B est l’énergie d’interaction du champ magnétique avec le
spin de la particule. L’équation (10.4.31) nous donne donc la valeur du moment magnétique propre de la particule ; pour un électron, on en déduit :
− →
M = e 0 /2m e .
Ainsi une théorie non relativiste permet de prédire la valeur correcte du moment magnétique intrinsèque des particules de spin 1/2. L’existence du spin est ainsi
liée aux lois fondamentales de l’électrodynamique et sa mise en évidence apparaît
comme une conséquence de la linéarisation de l’équation d’onde.
EXERCICES
Exercice 10.1. Identité vectorielle
Démontrer l’identité : (s·A)(s·B) = A·B + is·(A × B) où A et B sont
des vecteurs quelconques.
Solution.
Notons respectivement A i et B j , i, j = 1, 2, 3, les composantes des vecteurs A et B. On a :
(s·A) (s·B) =
3
i=1
s i A i
⎛
⎝
3
j=1
s j B j
⎞
⎠
(1)
Utilisons les propriétés des matrices de Pauli (voir exercice 9.5) : s i s j = i
k
´ ijk s k + d ij s 0 ,
d’où :
(s·A)(s·B) =
ij
A i B j
i
k
´ ijk s k + d ij s 0
(2)
Le terme :
ij
A i B j d ij =
i
A i B i = A·B
(3)