10.4 Équation de Pauli
241
Cherchons donc des matrices hermitiennes d’ordre quatre qui vérifient (10.4.18).
Connaissant les matrices s i de Pauli, on peut chercher des matrices formées à partir
de ces dernières, d’où :
g i =
0 s i
s i 0
; i = 1, 2, 3 ; g 4 =
1 1 0
0 −11
(10.4.20)
où 1 1 représente la matrice unité d’ordre deux et 0 la matrice nulle d’ordre deux.
Choisissant la matrice M telle que :
M =
0 1 1
1 1 0
(10.4.21)
on en déduit les matrices initiales A, B k et C. On obtient finalement l’équation suivante :
−i
0 0
1 1 0
E +
s 0
0 s
·P + 2mi
0 1 1
0 0
c = 0
(10.4.22)
On a des matrices d’ordre quatre, formées de sous-matrices d’ordre deux, et c est un
vecteur à quatre composantes. Utilisons les notations suivantes :
c =
z
x
; z =
z 1
z 2
; x =
x 1
x 2
(10.4.23)
Les matrices qui figurent dans l’équation (10.4.22) donnent alors deux équations
couplées pour les spineurs z et x :
s·Pz + 2mi11x = 0 ; s·Px − iE11z = 0
(10.4.24)
b) Particule dans un champ magnétique extérieur
Lorsque la particule est soumise à l’action d’un champ magnétique, on postule les
mêmes règles de correspondance que celles déjà utilisées pour l’équation de Schrödinger, à savoir :
P → P − qA ; i
∂
∂t
→ i
∂
∂t
− qV
(10.4.25)
Avec ces correspondances, les équations (10.4.24) de la particule libre deviennent :
s·(P − qA)z + 2mi11x = 0
(10.4.26)
s·(P − qA)x − i(E − qV)11z = 0
(10.4.27)
c) Équation de Pauli
Nous allons voir qu’on retrouve l’équation de Pauli à partir des équations (10.4.26)
et (10.4.27). De l’équation (10.4.26) nous obtenons : x = −(1/2mi)s·(P − qA)z.
Reportons cette expression de x dans l’équation (10.4.27) ; il vient :
(E − qV)z −
1
2m
[s·(P − qA)]
2 z = 0
(10.4.28)