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10 • Spin
Or l’équation de Schrödinger est du second ordre puisque l’opérateur P
2 y figure.
Par suite, si l’on suppose que l’équation de Schrödinger est une conséquence de
l’équation (10.4.11), il faut alors trouver une autre équation de la même forme, soit :
(A
E + B
·P + C
)c = 0
(10.4.12)
telle qu’en multipliant entre eux les opérateurs qui figurent dans ces équations du
premier ordre, on obtienne l’équation de Schrödinger. On doit donc avoir :
1
2m
(A
E + B
·P + C
)(AE + B·P + C)c =
E −
P
2
2m
c
(10.4.13)
L’introduction du facteur 1/2m sert seulement à simplifier les notations. Pour obtenir
les opérateurs inconnus, développons l’équation (10.4.13) et identifions les termes de
gauche à ceux de droite ; il vient :
A
A = 0 ; A
B i + B
i A = 0 ; A
C + C
A = 2m
B
i B j + B
j B i = −2d ij ; C
B i + B
i C = 0 ; C
C = 0
(10.4.14)
avec i, j = 1, 2, 3. Introduisons les opérateurs suivants :
B 4 = i[A + (1/2m)C]
;
B
4 = i[A
+ (1/2m)C
]
B 5 = [A − (1/2m)C]
;
B
5 = [A
− (1/2m)C
]
(10.4.15)
Les relations (10.4.14) s’écrivent alors sous la forme :
B
i B k + B
k B i = −2d ik ; i, k = 1 à 5
(10.4.16)
Introduisons une matrice M, supposée non singulière, telle que :
B i = Mg i ; B
i = −g i M
−1 ; i = 1 à 4 ; B 5 = −iM ; B
5 = −iM
−1 (10.4.17)
où les g i sont des matrices inconnues à déterminer. Les relations (10.4.16) deviennent
ainsi :
g i g k + g k g i = 2d ik ; i, k = 1 à 4
(10.4.18)
On note que les relations d’anticommutation (10.4.16) sont automatiquement vérifiées lorsque i = 5, et/ou k = 5. Remarquons que les relations (10.4.18) définissent
une algèbre de Clifford
¿ des éléments g k .
Ces relations donnent : g
2
k = 1 1 ; les valeurs propres de g k sont donc égales à ±1.
D’autre part, les traces des matrices g k sont nulles, car on a :
g i g k = −g k g i , ; Trg i = − Tr g k g i g k = − Tr g i
(10.4.19)
On a donc Tr g i = 0. Comme la trace d’une matrice est égale à la somme de ses
valeurs propres, le nombre de valeurs positives +1 est égal au nombre de valeurs
négatives −1. En conséquence, les matrices doivent être d’ordre pair. L’ordre deux
est à exclure car les matrices 2 × 2 forment un espace vectoriel de dimension quatre
et il n’est possible de trouver que trois matrices qui anticommutent, plus la matrice
unité, pour former une base, alors que les g k doivent être au nombre de quatre.
3. J. HLADIK. Les spineurs en physique. Masson (1996).
10 • Spin
Or l’équation de Schrödinger est du second ordre puisque l’opérateur P
2 y figure.
Par suite, si l’on suppose que l’équation de Schrödinger est une conséquence de
l’équation (10.4.11), il faut alors trouver une autre équation de la même forme, soit :
(A
E + B
·P + C
)c = 0
(10.4.12)
telle qu’en multipliant entre eux les opérateurs qui figurent dans ces équations du
premier ordre, on obtienne l’équation de Schrödinger. On doit donc avoir :
1
2m
(A
E + B
·P + C
)(AE + B·P + C)c =
E −
P
2
2m
c
(10.4.13)
L’introduction du facteur 1/2m sert seulement à simplifier les notations. Pour obtenir
les opérateurs inconnus, développons l’équation (10.4.13) et identifions les termes de
gauche à ceux de droite ; il vient :
A
A = 0 ; A
B i + B
i A = 0 ; A
C + C
A = 2m
B
i B j + B
j B i = −2d ij ; C
B i + B
i C = 0 ; C
C = 0
(10.4.14)
avec i, j = 1, 2, 3. Introduisons les opérateurs suivants :
B 4 = i[A + (1/2m)C]
;
B
4 = i[A
+ (1/2m)C
]
B 5 = [A − (1/2m)C]
;
B
5 = [A
− (1/2m)C
]
(10.4.15)
Les relations (10.4.14) s’écrivent alors sous la forme :
B
i B k + B
k B i = −2d ik ; i, k = 1 à 5
(10.4.16)
Introduisons une matrice M, supposée non singulière, telle que :
B i = Mg i ; B
i = −g i M
−1 ; i = 1 à 4 ; B 5 = −iM ; B
5 = −iM
−1 (10.4.17)
où les g i sont des matrices inconnues à déterminer. Les relations (10.4.16) deviennent
ainsi :
g i g k + g k g i = 2d ik ; i, k = 1 à 4
(10.4.18)
On note que les relations d’anticommutation (10.4.16) sont automatiquement vérifiées lorsque i = 5, et/ou k = 5. Remarquons que les relations (10.4.18) définissent
une algèbre de Clifford
¿ des éléments g k .
Ces relations donnent : g
2
k = 1 1 ; les valeurs propres de g k sont donc égales à ±1.
D’autre part, les traces des matrices g k sont nulles, car on a :
g i g k = −g k g i , ; Trg i = − Tr g k g i g k = − Tr g i
(10.4.19)
On a donc Tr g i = 0. Comme la trace d’une matrice est égale à la somme de ses
valeurs propres, le nombre de valeurs positives +1 est égal au nombre de valeurs
négatives −1. En conséquence, les matrices doivent être d’ordre pair. L’ordre deux
est à exclure car les matrices 2 × 2 forment un espace vectoriel de dimension quatre
et il n’est possible de trouver que trois matrices qui anticommutent, plus la matrice
unité, pour former une base, alors que les g k doivent être au nombre de quatre.
3. J. HLADIK. Les spineurs en physique. Masson (1996).