10.4 Équation de Pauli
239
l’hamiltonien classique. Considérons le cas de l’électron ; nous avons vu que son
moment magnétique de spin est donné, en terme d’opérateur, par :
M = −gS = −m B s
(10.4.8)
L’énergie d’interaction du moment magnétique
− →
M dans un champ magnétique
− →
B
est égale à −
− →
M ·
− →
B ; il lui correspond l’opérateur m B s·B. De la sorte, l’hamiltonien
d’un électron plongé dans un champ magnétique conduit à l’équation aux valeurs
propres :
1
2m
[P + e 0 A(R, t)]
2 + m B s·B − e 0 V(R, t)
|c = E|c
(10.4.9)
C’est la généralisation de l’équation de Schrödinger pour un électron soumis à un
champ magnétique extérieur ; cette équation est appelée équation de Pauli.
Puisque l’opérateur s a pour composantes les matrices de Pauli, le vecteur d’état
|c est un spineur de l’espace E = E r ⊗ E s défini par (10.3.3). En réalisation-|r, ce
vecteur s’écrit sous la forme :
c(r, t) =
c 1 (r, t)
c 2 (r, t)
(10.4.10)
Remplaçant l’opérateur s par les matrices de Pauli d’ordre deux, l’équation (10.4.9)
devient, après développement des produits matriciels, un système de deux équations
aux dérivées partielles couplées pour les composantes c 1 (r, t) et c 2 (r, t) du spineur
c(r, t).
10.4.3 Linéarisation de l’équation de Schrödinger
Dans sa théorie de l’électron relativiste, Dirac a introduit un nouveau postulat qui
est celui de la linéarisation de l’équation d’onde dans laquelle toutes les dérivées
partielles, par rapport aux variables d’espace et de temps, doivent être du premier
ordre. Ce postulat a ensuite été utilisé en théorie non relativiste et il permet d’obtenir
une nouvelle équation dans laquelle l’énergie d’interaction d’un champ magnétique
avec le spin de la particule s’introduit automatiquement. Nous reprenons cette théorie
d’après l’article de J. M. Lévy-Leblond
¾
.
a) Particule libre
Considérons une particule libre de masse m et d’énergie E, et cherchons une équation
d’onde du premier ordre de la forme générale :
(AE + B·P + C)c = 0
(10.4.11)
où A, B, C sont des opérateurs linéaires à déterminer ; E = i ∂/∂t ; B est un vecteur
à trois composantes B i , i = 1, 2, 3 ; P est l’opérateur impulsion.
2. J. M. LÉVY-LEBLOND. Comm. Math. Phys. 6, 286 (1967).
239
l’hamiltonien classique. Considérons le cas de l’électron ; nous avons vu que son
moment magnétique de spin est donné, en terme d’opérateur, par :
M = −gS = −m B s
(10.4.8)
L’énergie d’interaction du moment magnétique
− →
M dans un champ magnétique
− →
B
est égale à −
− →
M ·
− →
B ; il lui correspond l’opérateur m B s·B. De la sorte, l’hamiltonien
d’un électron plongé dans un champ magnétique conduit à l’équation aux valeurs
propres :
1
2m
[P + e 0 A(R, t)]
2 + m B s·B − e 0 V(R, t)
|c = E|c
(10.4.9)
C’est la généralisation de l’équation de Schrödinger pour un électron soumis à un
champ magnétique extérieur ; cette équation est appelée équation de Pauli.
Puisque l’opérateur s a pour composantes les matrices de Pauli, le vecteur d’état
|c est un spineur de l’espace E = E r ⊗ E s défini par (10.3.3). En réalisation-|r, ce
vecteur s’écrit sous la forme :
c(r, t) =
c 1 (r, t)
c 2 (r, t)
(10.4.10)
Remplaçant l’opérateur s par les matrices de Pauli d’ordre deux, l’équation (10.4.9)
devient, après développement des produits matriciels, un système de deux équations
aux dérivées partielles couplées pour les composantes c 1 (r, t) et c 2 (r, t) du spineur
c(r, t).
10.4.3 Linéarisation de l’équation de Schrödinger
Dans sa théorie de l’électron relativiste, Dirac a introduit un nouveau postulat qui
est celui de la linéarisation de l’équation d’onde dans laquelle toutes les dérivées
partielles, par rapport aux variables d’espace et de temps, doivent être du premier
ordre. Ce postulat a ensuite été utilisé en théorie non relativiste et il permet d’obtenir
une nouvelle équation dans laquelle l’énergie d’interaction d’un champ magnétique
avec le spin de la particule s’introduit automatiquement. Nous reprenons cette théorie
d’après l’article de J. M. Lévy-Leblond
¾
.
a) Particule libre
Considérons une particule libre de masse m et d’énergie E, et cherchons une équation
d’onde du premier ordre de la forme générale :
(AE + B·P + C)c = 0
(10.4.11)
où A, B, C sont des opérateurs linéaires à déterminer ; E = i ∂/∂t ; B est un vecteur
à trois composantes B i , i = 1, 2, 3 ; P est l’opérateur impulsion.
2. J. M. LÉVY-LEBLOND. Comm. Math. Phys. 6, 286 (1967).