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10 • Spin
où f (r, t) est une fonction arbitraire de r et t, peuvent décrire ce même champ électromagnétique. Lorsqu’on décrit un champ électromagnétique en choisissant un ensemble particulier de potentiels, on dit qu’on effectue un choix de jauge. Lorsqu’on
passe d’un choix de potentiels à un autre, on dit qu’on effectue un changement de
jauge.
b) Invariance de jauge
Étant donné l’arbitraire du choix des potentiels, on peut se demander si les résultats
obtenus en mécanique quantique sont indépendants du choix de jauge. Nous allons
voir que les résultats physiques ne sont pas modifiés lorsqu’on effectue un changement de jauge.
Pour le montrer, limitons-nous à la réalisation-r et considérons l’équation de
Schrödinger :
Hc = i
∂c
∂t
(10.4.4)
où H est l’hamiltonien (10.4.2) correspondant aux potentiels A et V. Effectuons un
changement de jauge donnant les potentiels A
et V
correspondant à (10.4.3) ; ces
derniers conduisent à une autre équation de Schrödinger :
H
c
= i
∂c
∂t
(10.4.5)
Montrons que les fonctions c et c
ne diffèrent que par un facteur de phase. Écrivons
c
(r, t) sous la forme :
c
(r, t) = c(r, t) exp
iq
f (r, t)
(10.4.6)
et insérons cette expression de c
(r, t) dans l’équation (10.4.5), soit :
1
2m
(P − qA − q∇f )
2 + qV − q
∂f
∂t
ce
iq f / = i
∂
∂t
ce
iq f /
(10.4.7)
Le développement des dérivées partielles permet de mettre en facteur le terme e
iq f /
et de montrer que c(r, t) vérifie l’équation de Schrödinger (10.4.4). Ainsi les deux
expressions c
et c ne diffèrent que par un facteur de phase e
iq f / ce qui n’affecte
pas les résultats physiques.
La probabilité de présence ainsi que les éléments matriciels des observables sont
donc invariants lors d’un changement de jauge et il en est de même pour le courant
de probabilité. On dira que la mécanique quantique possède la propriété d’invariance
de jauge.
10.4.2 Particule douée de spin
Lorsque la particule considérée possède un spin, il apparaît une interaction supplémentaire entre la particule et le champ magnétique, interaction qui ne figure pas dans
10 • Spin
où f (r, t) est une fonction arbitraire de r et t, peuvent décrire ce même champ électromagnétique. Lorsqu’on décrit un champ électromagnétique en choisissant un ensemble particulier de potentiels, on dit qu’on effectue un choix de jauge. Lorsqu’on
passe d’un choix de potentiels à un autre, on dit qu’on effectue un changement de
jauge.
b) Invariance de jauge
Étant donné l’arbitraire du choix des potentiels, on peut se demander si les résultats
obtenus en mécanique quantique sont indépendants du choix de jauge. Nous allons
voir que les résultats physiques ne sont pas modifiés lorsqu’on effectue un changement de jauge.
Pour le montrer, limitons-nous à la réalisation-r et considérons l’équation de
Schrödinger :
Hc = i
∂c
∂t
(10.4.4)
où H est l’hamiltonien (10.4.2) correspondant aux potentiels A et V. Effectuons un
changement de jauge donnant les potentiels A
et V
correspondant à (10.4.3) ; ces
derniers conduisent à une autre équation de Schrödinger :
H
c
= i
∂c
∂t
(10.4.5)
Montrons que les fonctions c et c
ne diffèrent que par un facteur de phase. Écrivons
c
(r, t) sous la forme :
c
(r, t) = c(r, t) exp
iq
f (r, t)
(10.4.6)
et insérons cette expression de c
(r, t) dans l’équation (10.4.5), soit :
1
2m
(P − qA − q∇f )
2 + qV − q
∂f
∂t
ce
iq f / = i
∂
∂t
ce
iq f /
(10.4.7)
Le développement des dérivées partielles permet de mettre en facteur le terme e
iq f /
et de montrer que c(r, t) vérifie l’équation de Schrödinger (10.4.4). Ainsi les deux
expressions c
et c ne diffèrent que par un facteur de phase e
iq f / ce qui n’affecte
pas les résultats physiques.
La probabilité de présence ainsi que les éléments matriciels des observables sont
donc invariants lors d’un changement de jauge et il en est de même pour le courant
de probabilité. On dira que la mécanique quantique possède la propriété d’invariance
de jauge.
10.4.2 Particule douée de spin
Lorsque la particule considérée possède un spin, il apparaît une interaction supplémentaire entre la particule et le champ magnétique, interaction qui ne figure pas dans