10.4 Équation de Pauli
237
Écrivons que son produit scalaire avec le vecteur |1, 0 doit être nul :
1, 0|0, 0 =
1
√
2
(l 1 + l 2 ) = 0
(10.3.22)
Choisissons un vecteur |0, 0 normé ; les coefficients l 1 et l 2 vérifient alors la relation :
0, 0|0, 0 = |l 1 |
2 + |l 2 |
2 = 1
(10.3.23)
Des relations (10.3.22) et (10.3.23), nous obtenons :
l 1 = −l 2 =
e
ia
√
2
(10.3.24)
Le facteur de phase étant arbitraire, choissons a = 0, d’où :
|0, 0 =
1
√
2
(| + −− − | − +)
(10.3.25)
10.4 ÉQUATION DE PAULI
10.4.1 Équation de Schrödinger : particule dans un champ magnétique
Déterminons l’équation de Schrödinger d’une particule de charge q placée dans un
champ magnétique extérieur et soumise à l’action simultanée d’un potentiel scalaire V (r, t). Si
− →
A est le potentiel vecteur du champ magnétique au point où se
trouve cette particule et U = qV son énergie potentielle d’interaction électrique,
son hamiltonien classique, dont le calcul est donné à titre d’exercice, s’écrit (voir
exercice 10.4) :
H =
1
2m
[p − q
− →
A (r, t)]
2 + qV (r, t)
(10.4.1)
Si la particule est dépourvue de spin, le passage à la mécanique quantique s’effectue comme à l’ordinaire en remplaçant l’impulsion p par l’opérateur P et le vecteur
− →
A par l’opérateur A ayant pour composantes A x , A y , A z , grandeurs identiques aux
composantes de
− →
A . On obtient ainsi l’opérateur hamiltonien :
H =
1
2m
[P − qA(R, t)]
2 + qV(R, t)
(10.4.2)
a) Changement de jauge
Pour un champ électrique
− →
E (r, t) et un champ magnétique
− →
B (r, t) donnés, les potentiels V (r, t) et
− →
A (r, t) ne sont pas déterminés de façon unique. Tous les potentiels
scalaires V
(r, t) et les potentiels vecteurs
− →
A
(r, t) qui obéissent aux relations :
V
(r, t) = V (r, t) −
∂f (r, t)
∂t
;
− →
A
(r, t) =
− →
A (r, t) + ∇f (r, t)
(10.4.3)