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10 • Spin
b) Sous-espace E
(1)
Le vecteur | + + est l’unique vecteur de E
(s1 s2) qui soit vecteur propre de S z associé
à M = 1. Puisque S
2 et S z commutent et que la valeur M = 1 n’est pas dégénérée, le
vecteur | + + est également vecteur propre de S
2 . On peut donc choisir la constante
de phase du vecteur de sorte que :
| + + = |1, 1
(10.3.13)
Utilisons alors les propriétés générales des moments cinétiques pour calculer les
autres vecteurs de base de E
(1) . Appliquons, pour cela, l’opérateur S − = S x − iS y au
vecteur |1, 1. Selon la formule (6.2.23), on a :
S − |S, M =
S(S + 1) − M(M − 1) |S, M − 1
(10.3.14)
d’où :
S − |1, 1 =
√
2|1, 0
(10.3.15)
Selon la définition (10.3.8) du spin total, on a :
S − = S 1− + S 2−
(10.3.16)
avec S 1− = S 1x − iS 1y ; S 2− = S 2x − iS 2y . La relation (10.3.15) donne alors :
|1, 0 =
1
√
2
(S 1− + S 2− )| + +
(10.3.17)
La formule générale (6.2.23) s’applique de nouveau aux opérateurs S 1− et S 2− qui
agissent sur les vecteurs des sous-espaces E
(s1) et E
(s2) . On obtient :
|1, 0 =
1
√
2
( | − + + | + −−) =
1
√
2
(| − + + | + −−)
(10.3.18)
Utilisons de nouveau la formule (10.3.14) en appliquant S − au vecteur |1, 0 ; il
vient :
S − |1, 0 =
√
2|1, −1
(10.3.19)
Substituons dans (10.3.19) l’expression du vecteur |1, 0 donnée par (10.3.18) ainsi
que celle de l’opérateur S − donnée par (10.3.16) ; on obtient :
|1, −1 =
1
√
2
(S 1− + S 2− )|1, 0 = | − −−
(10.3.20)
Puisque les vecteurs |S, M ont été déduits les uns des autres, le choix de la constante
de phase effectué dans (10.3.13) est respecté pour ces trois vecteurs.
c) Sous-espace E
(0)
Les vecteurs de E
(0) seront linéairement indépendants de ceux de E
(1) s’ils sont
orthogonaux à ces derniers. Puisque les vecteurs |1, 1 = | + + et |1, −1 = | − −−
sont des vecteurs orthogonaux à |0, 0, ce dernier ne peut être qu’une combinaison
linéaire des vecteurs | + −− et | − +, soit :
|0, 0 = l 1 | + −− + l 2 | − +
(10.3.21)
10 • Spin
b) Sous-espace E
(1)
Le vecteur | + + est l’unique vecteur de E
(s1 s2) qui soit vecteur propre de S z associé
à M = 1. Puisque S
2 et S z commutent et que la valeur M = 1 n’est pas dégénérée, le
vecteur | + + est également vecteur propre de S
2 . On peut donc choisir la constante
de phase du vecteur de sorte que :
| + + = |1, 1
(10.3.13)
Utilisons alors les propriétés générales des moments cinétiques pour calculer les
autres vecteurs de base de E
(1) . Appliquons, pour cela, l’opérateur S − = S x − iS y au
vecteur |1, 1. Selon la formule (6.2.23), on a :
S − |S, M =
S(S + 1) − M(M − 1) |S, M − 1
(10.3.14)
d’où :
S − |1, 1 =
√
2|1, 0
(10.3.15)
Selon la définition (10.3.8) du spin total, on a :
S − = S 1− + S 2−
(10.3.16)
avec S 1− = S 1x − iS 1y ; S 2− = S 2x − iS 2y . La relation (10.3.15) donne alors :
|1, 0 =
1
√
2
(S 1− + S 2− )| + +
(10.3.17)
La formule générale (6.2.23) s’applique de nouveau aux opérateurs S 1− et S 2− qui
agissent sur les vecteurs des sous-espaces E
(s1) et E
(s2) . On obtient :
|1, 0 =
1
√
2
( | − + + | + −−) =
1
√
2
(| − + + | + −−)
(10.3.18)
Utilisons de nouveau la formule (10.3.14) en appliquant S − au vecteur |1, 0 ; il
vient :
S − |1, 0 =
√
2|1, −1
(10.3.19)
Substituons dans (10.3.19) l’expression du vecteur |1, 0 donnée par (10.3.18) ainsi
que celle de l’opérateur S − donnée par (10.3.16) ; on obtient :
|1, −1 =
1
√
2
(S 1− + S 2− )|1, 0 = | − −−
(10.3.20)
Puisque les vecteurs |S, M ont été déduits les uns des autres, le choix de la constante
de phase effectué dans (10.3.13) est respecté pour ces trois vecteurs.
c) Sous-espace E
(0)
Les vecteurs de E
(0) seront linéairement indépendants de ceux de E
(1) s’ils sont
orthogonaux à ces derniers. Puisque les vecteurs |1, 1 = | + + et |1, −1 = | − −−
sont des vecteurs orthogonaux à |0, 0, ce dernier ne peut être qu’une combinaison
linéaire des vecteurs | + −− et | − +, soit :
|0, 0 = l 1 | + −− + l 2 | − +
(10.3.21)