10.3 Spin des particules quantiques
235
10.3.4 Composition de deux spins
Considérons, à titre d’exemple, un système formé de deux particules ayant chacune
un spin 1/2. Notons S 1 et S 2 les moments cinétiques de spin respectifs des particules
1 et 2. Connaissant une base de l’espace des états formée de vecteurs propres communs à S
2
1 , S 1z , S
2
2 , S 2z , cherchons une nouvelle base constituée des vecteurs propres
communs à S
2 et S z , avec :
S = S 1 + S 2
(10.3.8)
Notons |s 1 m s1 et |s 2 m s2 les vecteurs de base respectifs des espaces E
(s1) et E
(s2)
des états de spin individuels. L’espace des états de spin du système de deux particules
est l’espace produit tensoriel E
(s1 s2) = E
(s1)
⊗ E
(s2) dont les vecteurs de base sont
notés :
|s 1 m s1 s 2 m s2 = |s 1 m s1 ⊗ |s 2 m s2
(10.3.9)
Puisqu’on a s 1 = s 2 = 1/2, les seules valeurs possibles de m s1 et m s2 sont égales à
±1/2. Pour noter les états |s 1 m s1 s 2 m s2 on peut supprimer les valeurs de s 1 et s 2 qui
sont identiques et ne garder que les signes respectifs de m s1 et m s2 ; on obtient quatre
vecteurs :
| + + ; | + −− ; | − + ; | − −−
(10.3.10)
Ces vecteurs forment une base orthonormée de l’espace produit tensoriel E
(s1 s2) .
a) Décomposition de l’espace produit tensoriel
Notons, d’autre part, |S, M les vecteurs propres communs à S
2 et S z et cherchons
l’expression de ces vecteurs sur la base (10.3.10).
Les vecteurs |S, M sont des combinaisons linéaires des vecteurs de base
(10.3.10). Bien que, selon la notation (6.5.17), il conviendrait de les noter |s 1 s 2 S M
pour rappeler qu’ils appartiennent à l’espace E
(s1 s2) , nous omettrons s 1 et s 2 puisque
ces valeurs sont fixées et égales à 1/2.
Rappelons que le produit direct de deux sous-espaces de représentation de SO(3)
se décompose sous la forme (6.5.15). Pour s 1 = s 2 = 1/2, cette décomposition
donne la somme directe :
E
(1/2, 1/2) = E
(1/2)
⊗ E
(1/2) = E
(1)
⊕ E
(0)
(10.3.11)
L’espace E
(s1 s2) se décompose en deux sous-espaces E
(1) et E
(0) correspondant respectivement à S = 1 et S = 0. Pour S = 1, on a M = −1, 0, 1 et pour S = 0, M = 0.
Les vecteurs |S, M cherchés s’écrivent donc sous la forme :
Sous-espace E
(1) : |1, 1; |1, 0; |1, −1
Sous-espace E
(0) : |0, 0
(10.3.12)
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10.3.4 Composition de deux spins
Considérons, à titre d’exemple, un système formé de deux particules ayant chacune
un spin 1/2. Notons S 1 et S 2 les moments cinétiques de spin respectifs des particules
1 et 2. Connaissant une base de l’espace des états formée de vecteurs propres communs à S
2
1 , S 1z , S
2
2 , S 2z , cherchons une nouvelle base constituée des vecteurs propres
communs à S
2 et S z , avec :
S = S 1 + S 2
(10.3.8)
Notons |s 1 m s1 et |s 2 m s2 les vecteurs de base respectifs des espaces E
(s1) et E
(s2)
des états de spin individuels. L’espace des états de spin du système de deux particules
est l’espace produit tensoriel E
(s1 s2) = E
(s1)
⊗ E
(s2) dont les vecteurs de base sont
notés :
|s 1 m s1 s 2 m s2 = |s 1 m s1 ⊗ |s 2 m s2
(10.3.9)
Puisqu’on a s 1 = s 2 = 1/2, les seules valeurs possibles de m s1 et m s2 sont égales à
±1/2. Pour noter les états |s 1 m s1 s 2 m s2 on peut supprimer les valeurs de s 1 et s 2 qui
sont identiques et ne garder que les signes respectifs de m s1 et m s2 ; on obtient quatre
vecteurs :
| + + ; | + −− ; | − + ; | − −−
(10.3.10)
Ces vecteurs forment une base orthonormée de l’espace produit tensoriel E
(s1 s2) .
a) Décomposition de l’espace produit tensoriel
Notons, d’autre part, |S, M les vecteurs propres communs à S
2 et S z et cherchons
l’expression de ces vecteurs sur la base (10.3.10).
Les vecteurs |S, M sont des combinaisons linéaires des vecteurs de base
(10.3.10). Bien que, selon la notation (6.5.17), il conviendrait de les noter |s 1 s 2 S M
pour rappeler qu’ils appartiennent à l’espace E
(s1 s2) , nous omettrons s 1 et s 2 puisque
ces valeurs sont fixées et égales à 1/2.
Rappelons que le produit direct de deux sous-espaces de représentation de SO(3)
se décompose sous la forme (6.5.15). Pour s 1 = s 2 = 1/2, cette décomposition
donne la somme directe :
E
(1/2, 1/2) = E
(1/2)
⊗ E
(1/2) = E
(1)
⊕ E
(0)
(10.3.11)
L’espace E
(s1 s2) se décompose en deux sous-espaces E
(1) et E
(0) correspondant respectivement à S = 1 et S = 0. Pour S = 1, on a M = −1, 0, 1 et pour S = 0, M = 0.
Les vecteurs |S, M cherchés s’écrivent donc sous la forme :
Sous-espace E
(1) : |1, 1; |1, 0; |1, −1
Sous-espace E
(0) : |0, 0
(10.3.12)