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10 • Spin
L’espace des états E d’une particule est alors le produit tensoriel des espaces
vectoriels E r et E s :
E = E r ⊗ E s
(10.3.3)
Les opérateurs de spin agissent uniquement dans l’espace E s des états de spin. En
conséquence, toute observable de spin commute avec toute observable orbitale.
10.3.3 Moment cinétique total
a) Particule douée de spin
Le moment cinétique total d’une particule est la somme de son moment orbital L et
de son spin S. Ces opérateurs commutent entre eux, soit :
[L, S] = 0
(10.3.4)
Le moment cinétique total est noté J, soit :
J = L + S
(10.3.5)
Les valeurs des nombres quantiques associés à J sont données par la règle générale
d’addition des moments cinétiques, vue au chapitre 6. Pour des valeurs l et s données,
le moment total J est caractérisé par les valeurs, notées j :
j = l + s, l + s − 1, ..., |l − s|
(10.3.6)
Dans le cas, par exemple, de l’électron, le nombre quantique j peut prendre les valeurs : j = l ± 1/2 ; lorsque l = 0, j ne prend que la valeur 1/2.
La décomposition de Clebsch-Gordan de l’espace de représentation E
(l)
⊗ E
(s) de
SO(3) est donnée par :
E
(l)
⊗ E
(s) = E
(l+s)
⊕ E
(l+s−1)
⊕ · · · ⊕ E
|l−s|
b) Système de particules
L’opérateur de moment cinétique total J T d’un système de particules est égal à la
somme des opérateurs J i relatifs à chacune d’elles. Si l’on note L T la somme des
moments orbitaux et S T la somme des moments de spin, on a :
J T =
i
J i = L T + S T
(10.3.7)
Les opérateurs L T et S T sont appelés respectivement moment orbital total et spin
total. Les valeurs qui caractérisent J sont également données par la règle d’addition
des moments.
Les opérateurs de moment cinétique total, qu’il s’agisse d’une ou de plusieurs
particules, vérifient les mêmes relations de commutation que les opérateurs infinitésimaux de rotation puisqu’ils sont formés simplement par addition de moments
cinétiques.
10 • Spin
L’espace des états E d’une particule est alors le produit tensoriel des espaces
vectoriels E r et E s :
E = E r ⊗ E s
(10.3.3)
Les opérateurs de spin agissent uniquement dans l’espace E s des états de spin. En
conséquence, toute observable de spin commute avec toute observable orbitale.
10.3.3 Moment cinétique total
a) Particule douée de spin
Le moment cinétique total d’une particule est la somme de son moment orbital L et
de son spin S. Ces opérateurs commutent entre eux, soit :
[L, S] = 0
(10.3.4)
Le moment cinétique total est noté J, soit :
J = L + S
(10.3.5)
Les valeurs des nombres quantiques associés à J sont données par la règle générale
d’addition des moments cinétiques, vue au chapitre 6. Pour des valeurs l et s données,
le moment total J est caractérisé par les valeurs, notées j :
j = l + s, l + s − 1, ..., |l − s|
(10.3.6)
Dans le cas, par exemple, de l’électron, le nombre quantique j peut prendre les valeurs : j = l ± 1/2 ; lorsque l = 0, j ne prend que la valeur 1/2.
La décomposition de Clebsch-Gordan de l’espace de représentation E
(l)
⊗ E
(s) de
SO(3) est donnée par :
E
(l)
⊗ E
(s) = E
(l+s)
⊕ E
(l+s−1)
⊕ · · · ⊕ E
|l−s|
b) Système de particules
L’opérateur de moment cinétique total J T d’un système de particules est égal à la
somme des opérateurs J i relatifs à chacune d’elles. Si l’on note L T la somme des
moments orbitaux et S T la somme des moments de spin, on a :
J T =
i
J i = L T + S T
(10.3.7)
Les opérateurs L T et S T sont appelés respectivement moment orbital total et spin
total. Les valeurs qui caractérisent J sont également données par la règle d’addition
des moments.
Les opérateurs de moment cinétique total, qu’il s’agisse d’une ou de plusieurs
particules, vérifient les mêmes relations de commutation que les opérateurs infinitésimaux de rotation puisqu’ils sont formés simplement par addition de moments
cinétiques.