10.3 Spin des particules quantiques
233
a) Système formé de deux électrons
Chaque électron est caractérisé par un opérateur de spin, respectivement S 1 et S 2 .
Notons S 1z et S 2z les composantes respectives, selon l’axe Oz, des opérateurs S 1 et
S 2 et soit S = S 1 + S 2 . Notons respectivement E
(s1) et E
(s2) , avec s 1 = s 2 = 1/2, les
espaces vectoriels ayant pour base les spineurs propres de S 1z et S 2z .
Nous avons vu au chapitre 6, partie 5, que les produits tensoriels des vecteurs
propres respectifs de S 1z et S 2z sont des vecteurs propres de la composante S z du
moment cinétique total (S z est ici l’opérateur noté J
(j1j2)
z
dans la formule (6.5.7)).
Dans le cas présent, les vecteurs propres de S 1z et S 2z sont des spineurs d’ordre un.
Les produits tensoriels de ces spineurs nous donnent des spineurs d’ordre deux qui
sont des tenseurs symétriques définis au paragraphe 9.4.4. Ces tenseurs forment une
base orthonormée d’un espace produit tensoriel E
(s1)
⊗ E
(s2) de dimension quatre ;
c’est l’espace des spineurs d’ordre deux qui modélisent les états de spin du système.
b) Système formé de n électrons
Pour un ensemble formé de n particules de spin 1/2, on dit que le spin total S du
système est égal à n/2, ce qui correspond à la plus grande valeur de la somme des
spins de chaque particule dirigés selon un même axe.
La généralisation des propriétés décrites ci-dessus pour deux particules conduit
à former un spineur symétrique d’ordre n = 2S pour représenter l’état de spin du
système. Ces spineurs appartiennent à un espace vectoriel E
(S) , avec S = n/2, cet
espace étant obtenu en effectuant n fois le produit tensoriel des espaces E
(1/2) .
Les vecteurs propres de l’opérateur S z sont des spineurs d’ordre n, notés h S, mS ,
tels que :
S z h S, mS = m S h S, mS
(10.3.1)
Ces vecteurs sont communs avec ceux de S
2 pour lequel on a :
S
2 h S, mS =
2 S(S + 1)h S, mS
(10.3.2)
Le nombre m S prend toutes les valeurs successives S, S − 1, ..., −S, soit (2S + 1)
valeurs ; m S est appelé variable de spin.
c) Particule de spin s
Les propriétés de spin d’un système de n particules de spins 1/2, dirigés de telle sorte
que le spin total du système soit égal à S = n/2, sont identiques à celles d’une particule de spin s puisque ce sont en fait des propriétés vis-à-vis des rotations du système
de coordonnées. Par suite, l’état de spin d’une particule de spin s est également décrit
par un spineur symétrique d’ordre n = 2s.
d) Espace des états en notation de Dirac
À tout spineur h s, ms , on associe un vecteur d’état de spin qu’on note |sm s . Ces
vecteurs forment une base de l’espace vectoriel E s des états de spin.
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a) Système formé de deux électrons
Chaque électron est caractérisé par un opérateur de spin, respectivement S 1 et S 2 .
Notons S 1z et S 2z les composantes respectives, selon l’axe Oz, des opérateurs S 1 et
S 2 et soit S = S 1 + S 2 . Notons respectivement E
(s1) et E
(s2) , avec s 1 = s 2 = 1/2, les
espaces vectoriels ayant pour base les spineurs propres de S 1z et S 2z .
Nous avons vu au chapitre 6, partie 5, que les produits tensoriels des vecteurs
propres respectifs de S 1z et S 2z sont des vecteurs propres de la composante S z du
moment cinétique total (S z est ici l’opérateur noté J
(j1j2)
z
dans la formule (6.5.7)).
Dans le cas présent, les vecteurs propres de S 1z et S 2z sont des spineurs d’ordre un.
Les produits tensoriels de ces spineurs nous donnent des spineurs d’ordre deux qui
sont des tenseurs symétriques définis au paragraphe 9.4.4. Ces tenseurs forment une
base orthonormée d’un espace produit tensoriel E
(s1)
⊗ E
(s2) de dimension quatre ;
c’est l’espace des spineurs d’ordre deux qui modélisent les états de spin du système.
b) Système formé de n électrons
Pour un ensemble formé de n particules de spin 1/2, on dit que le spin total S du
système est égal à n/2, ce qui correspond à la plus grande valeur de la somme des
spins de chaque particule dirigés selon un même axe.
La généralisation des propriétés décrites ci-dessus pour deux particules conduit
à former un spineur symétrique d’ordre n = 2S pour représenter l’état de spin du
système. Ces spineurs appartiennent à un espace vectoriel E
(S) , avec S = n/2, cet
espace étant obtenu en effectuant n fois le produit tensoriel des espaces E
(1/2) .
Les vecteurs propres de l’opérateur S z sont des spineurs d’ordre n, notés h S, mS ,
tels que :
S z h S, mS = m S h S, mS
(10.3.1)
Ces vecteurs sont communs avec ceux de S
2 pour lequel on a :
S
2 h S, mS =
2 S(S + 1)h S, mS
(10.3.2)
Le nombre m S prend toutes les valeurs successives S, S − 1, ..., −S, soit (2S + 1)
valeurs ; m S est appelé variable de spin.
c) Particule de spin s
Les propriétés de spin d’un système de n particules de spins 1/2, dirigés de telle sorte
que le spin total du système soit égal à S = n/2, sont identiques à celles d’une particule de spin s puisque ce sont en fait des propriétés vis-à-vis des rotations du système
de coordonnées. Par suite, l’état de spin d’une particule de spin s est également décrit
par un spineur symétrique d’ordre n = 2s.
d) Espace des états en notation de Dirac
À tout spineur h s, ms , on associe un vecteur d’état de spin qu’on note |sm s . Ces
vecteurs forment une base de l’espace vectoriel E s des états de spin.