1.3 Particule dans un état stationnaire
13
En reportant C(r, t) = c(r)e
i a(t) dans l’équation de Schrödinger, il vient :
i
∂C(r, t)
∂t
= − ˙
aC(r, t) = HC(r, t)
( 1 .3.2)
Puisque la valeur de l’énergie est bien déterminée et que l’hamiltonien classique
est égal à l’énergie E, on doit, par analogie, avoir en mécanique quantique :
HC(r, t) = EC(r, t), d’où ˙
a = –E/ . Les fonctions d’onde des états stationnaires en fonction du temps sont donc de la forme :
C(r, t) = c(r) exp
−iEt
(1.3.3)
Les fonctions ne dépendant que des coordonnées seront notées généralement c. Ces
fonctions, ainsi que les valeurs E de l’énergie, sont déterminées par l’équation :
Hc(r) = Ec(r)
( 1 .3.4)
C’est l’équation de Schrödinger des états stationnaires. Les valeurs de E peuvent
former un ensemble discret — auquel cas elles sont généralement notées E n — ou
continu, appelé spectre de l’énergie. L’état stationnaire correspondant à la plus petite
valeur de E du spectre est appelé l’état fondamental du système.
➤ État lié
Dans un état stationnaire dont l’énergie appartient à un spectre de valeurs discrètes,
les déplacements de la particule sont limités, c’est-à-dire tels que le système ne
s’éloigne pas à l’infini. En effet, les fonctions d’onde c n (r) doivent vérifier la condition de normalisation :
|c n (r)|
2 d
3 r = 1
( 1 .3.5)
où l’intégrale est étendue à tout l’espace. En conséquence, |c n |
2 décroît suffisamment
vite et devient nécessairement nul à l’infini ; les déplacements du système sont donc
confinés dans un domaine limité. On dit que le système se trouve dans un état lié.
Étudions l’exemple des états stationnaires des molécules d’un gaz se trouvant dans
un état lié.
1.3.2 Molécules d’un gaz dans une enceinte fermée
Un gaz est constitué de molécules qui sont animées
x
z
y
a
b
c
Figure 1.1
en permanence d’une vitesse de déplacement relativement élevée, de l’ordre de 500 m s
−1 à la température
ambiante. Pour un gaz parfait, on considère que les
molécules n’interagissent pas avec leurs voisines et on
peut donc déterminer séparément l’énergie cinétique
de chaque molécule.
Considérons une molécule placée dans une enceinte
parallélépipédique de côtés a, b, c (figure 1.1). Supposons que son énergie soit uniquement cinétique et
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En reportant C(r, t) = c(r)e
i a(t) dans l’équation de Schrödinger, il vient :
i
∂C(r, t)
∂t
= − ˙
aC(r, t) = HC(r, t)
( 1 .3.2)
Puisque la valeur de l’énergie est bien déterminée et que l’hamiltonien classique
est égal à l’énergie E, on doit, par analogie, avoir en mécanique quantique :
HC(r, t) = EC(r, t), d’où ˙
a = –E/ . Les fonctions d’onde des états stationnaires en fonction du temps sont donc de la forme :
C(r, t) = c(r) exp
−iEt
(1.3.3)
Les fonctions ne dépendant que des coordonnées seront notées généralement c. Ces
fonctions, ainsi que les valeurs E de l’énergie, sont déterminées par l’équation :
Hc(r) = Ec(r)
( 1 .3.4)
C’est l’équation de Schrödinger des états stationnaires. Les valeurs de E peuvent
former un ensemble discret — auquel cas elles sont généralement notées E n — ou
continu, appelé spectre de l’énergie. L’état stationnaire correspondant à la plus petite
valeur de E du spectre est appelé l’état fondamental du système.
➤ État lié
Dans un état stationnaire dont l’énergie appartient à un spectre de valeurs discrètes,
les déplacements de la particule sont limités, c’est-à-dire tels que le système ne
s’éloigne pas à l’infini. En effet, les fonctions d’onde c n (r) doivent vérifier la condition de normalisation :
|c n (r)|
2 d
3 r = 1
( 1 .3.5)
où l’intégrale est étendue à tout l’espace. En conséquence, |c n |
2 décroît suffisamment
vite et devient nécessairement nul à l’infini ; les déplacements du système sont donc
confinés dans un domaine limité. On dit que le système se trouve dans un état lié.
Étudions l’exemple des états stationnaires des molécules d’un gaz se trouvant dans
un état lié.
1.3.2 Molécules d’un gaz dans une enceinte fermée
Un gaz est constitué de molécules qui sont animées
x
z
y
a
b
c
Figure 1.1
en permanence d’une vitesse de déplacement relativement élevée, de l’ordre de 500 m s
−1 à la température
ambiante. Pour un gaz parfait, on considère que les
molécules n’interagissent pas avec leurs voisines et on
peut donc déterminer séparément l’énergie cinétique
de chaque molécule.
Considérons une molécule placée dans une enceinte
parallélépipédique de côtés a, b, c (figure 1.1). Supposons que son énergie soit uniquement cinétique et