230
10 • Spin
b) Champs magnétiques parallèles
P'
A' B'
A
B
P
E 1
B 1
E 2
B 2
z
y
x
→
→
Figure 10.3
Dans une première expérience, disposons les deux électroaimants dans des positions semblables l’un par rapport à l’autre
(figure 10.3). Les champs magnétiques
− →
B 1 et
− →
B 2 sont orientés
dans la même direction, suivant l’axe Oz.
Puisque l’état dans lequel se trouve chaque atome est l’état
propre de l’observable S z qu’on veut précisément mesurer, le
postulat relatif à cette mesure nous indique qu’on trouvera effectivement la valeur propre /2 de cette observable. C’est
bien ce qu’on vérifie expérimentalement ; tous les atomes sont
déviés en un seul point A
de la deuxième plaque P
.
c) Champs magnétiques non parallèles
Dans une deuxième expérience, faisons tourner le premier électroaimant E 1 autour
de l’axe Ox d’un angle u. Le champ magnétique
− →
B 1 fait alors un angle u avec l’axe
Oz. Le second électroaimant E 2 reste en place et le champ
− →
B 2 reste parallèle à Oz.
L’état de spin des atomes à leur sortie de l’électroaimant E 1 est, selon les formules
(10.2.16), en notation de Dirac :
|c + = cos
u
2
|+ + sin
u
2
|−−
|c − = − sin
u
2
|+ + cos
u
2
|−−
(10.2.28)
puisque w = 0, la rotation ayant lieu dans le plan yOz. L’état |c + correspond à la
valeur propre /2, alors que l’état |c − est associé à − /2. Les atomes ayant un
spin égal à /2 passent donc par l’orifice A du « polariseur ».
En passant dans le champ
− →
B 2 , les atomes sont déviés et certains arrivent au point
A
, d’autres au point symétrique B
. Lorsque suffisamment d’atomes sont arrivés sur
la plaque P
, on constate que les nombres d’atomes arrivés en A
et B
sont respectivement proportionnels à cos
2 (u/2) et sin
2 (u/2)
L’état de spin |c + étant décomposé sur les états |+ et |−−, la probabilité d’obtenir
la valeur propre /2 de l’observable S z est donnée, selon le postulat de décomposition spectrale, par :
P(|+) = ||+|c + |
2 = cos
2 u
2
(10.2.29)
On a de même, pour la probabilité d’obtenir la valeur propre − /2 :
P(|−−) = ||−|c − |
2 = sin
2 u
2
(10.2.30)
10 • Spin
b) Champs magnétiques parallèles
P'
A' B'
A
B
P
E 1
B 1
E 2
B 2
z
y
x
→
→
Figure 10.3
Dans une première expérience, disposons les deux électroaimants dans des positions semblables l’un par rapport à l’autre
(figure 10.3). Les champs magnétiques
− →
B 1 et
− →
B 2 sont orientés
dans la même direction, suivant l’axe Oz.
Puisque l’état dans lequel se trouve chaque atome est l’état
propre de l’observable S z qu’on veut précisément mesurer, le
postulat relatif à cette mesure nous indique qu’on trouvera effectivement la valeur propre /2 de cette observable. C’est
bien ce qu’on vérifie expérimentalement ; tous les atomes sont
déviés en un seul point A
de la deuxième plaque P
.
c) Champs magnétiques non parallèles
Dans une deuxième expérience, faisons tourner le premier électroaimant E 1 autour
de l’axe Ox d’un angle u. Le champ magnétique
− →
B 1 fait alors un angle u avec l’axe
Oz. Le second électroaimant E 2 reste en place et le champ
− →
B 2 reste parallèle à Oz.
L’état de spin des atomes à leur sortie de l’électroaimant E 1 est, selon les formules
(10.2.16), en notation de Dirac :
|c + = cos
u
2
|+ + sin
u
2
|−−
|c − = − sin
u
2
|+ + cos
u
2
|−−
(10.2.28)
puisque w = 0, la rotation ayant lieu dans le plan yOz. L’état |c + correspond à la
valeur propre /2, alors que l’état |c − est associé à − /2. Les atomes ayant un
spin égal à /2 passent donc par l’orifice A du « polariseur ».
En passant dans le champ
− →
B 2 , les atomes sont déviés et certains arrivent au point
A
, d’autres au point symétrique B
. Lorsque suffisamment d’atomes sont arrivés sur
la plaque P
, on constate que les nombres d’atomes arrivés en A
et B
sont respectivement proportionnels à cos
2 (u/2) et sin
2 (u/2)
L’état de spin |c + étant décomposé sur les états |+ et |−−, la probabilité d’obtenir
la valeur propre /2 de l’observable S z est donnée, selon le postulat de décomposition spectrale, par :
P(|+) = ||+|c + |
2 = cos
2 u
2
(10.2.29)
On a de même, pour la probabilité d’obtenir la valeur propre − /2 :
P(|−−) = ||−|c − |
2 = sin
2 u
2
(10.2.30)