10.2 Spin de l’électron
229
c) Produit tensoriel
Si |c(t) est un produit tensoriel d’un vecteur |w(t) de E r par un vecteur | x de E s ,
on a : |c(t) = |w(t) ⊗ | x. Le vecteur | x est de la forme : | x = a|+ + b|−−.
Les composantes du spineur associé sont alors, par suite de la définition, donnée par
(2.1.47), du produit scalaire dans E r ⊗ E s :
c + (r, t) = r, +|c(t) = r|w(t)+| x = aw(r, t)
c − (r, t) = r, −|c(t) = r|w(t)−| x = bw(r, t)
(10.2.25)
d) Tenseur
De manière générale, les tenseurs |c(t) de E ne sont pas des produits tensoriels
mais des combinaisons linéaires de produits tensoriels, soit :
|c(t) =
i
a i (|w i (t) ⊗ |+) +
k
b k (|w k (t) ⊗ |−−)
(10.2.26)
Les composantes du spineur associé sont alors :
c + (r, t) = r, +|c(t) =
i
a i w i (r, t)
c − (r, t) = r, −|c(t) =
k
b k w k (r, t)
(10.2.27)
En général, l’état d’un électron est donc caractérisé par deux fonctions c + (r, t) et
c − (r, t) des variables d’espace et de temps. Ces fonctions forment les composantes
d’un champ de spineurs.
10.2.6 Vérifications expérimentales
La modélisation de l’état d’un électron par un spineur doit, dans ses conséquences,
être vérifiée expérimentalement. Utilisant l’appareil de Stern et Gerlach, nous pouvons en vérifier facilement quelques-unes.
a) Atomes dans un état de spin déterminé
Nous pouvons trier les atomes d’argent qui se trouvent dans un état de spin déterminé
à l’aide de l’appareil de Stern et Gerlach. Pour cela, perçons un trou dans la plaque P,
représentée sur la figure 10.2, à l’endroit A où arrivent les électrons qui se trouvent
dans l’état de spin |+. On obtient ainsi un jet d’atomes qui se trouvent tous dans le
même état. L’appareil est l’équivalent d’un « polariseur atomique » puisqu’il réalise
ce qu’on obtient avec un polariseur classique pour les photons.
Utilisons le jet d’atomes dans l’état |+ pour le faire passer dans le champ magnétique
− →
B 2 créé par un second électroaimant E 2 , schématisé sur la figure 10.3.
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c) Produit tensoriel
Si |c(t) est un produit tensoriel d’un vecteur |w(t) de E r par un vecteur | x de E s ,
on a : |c(t) = |w(t) ⊗ | x. Le vecteur | x est de la forme : | x = a|+ + b|−−.
Les composantes du spineur associé sont alors, par suite de la définition, donnée par
(2.1.47), du produit scalaire dans E r ⊗ E s :
c + (r, t) = r, +|c(t) = r|w(t)+| x = aw(r, t)
c − (r, t) = r, −|c(t) = r|w(t)−| x = bw(r, t)
(10.2.25)
d) Tenseur
De manière générale, les tenseurs |c(t) de E ne sont pas des produits tensoriels
mais des combinaisons linéaires de produits tensoriels, soit :
|c(t) =
i
a i (|w i (t) ⊗ |+) +
k
b k (|w k (t) ⊗ |−−)
(10.2.26)
Les composantes du spineur associé sont alors :
c + (r, t) = r, +|c(t) =
i
a i w i (r, t)
c − (r, t) = r, −|c(t) =
k
b k w k (r, t)
(10.2.27)
En général, l’état d’un électron est donc caractérisé par deux fonctions c + (r, t) et
c − (r, t) des variables d’espace et de temps. Ces fonctions forment les composantes
d’un champ de spineurs.
10.2.6 Vérifications expérimentales
La modélisation de l’état d’un électron par un spineur doit, dans ses conséquences,
être vérifiée expérimentalement. Utilisant l’appareil de Stern et Gerlach, nous pouvons en vérifier facilement quelques-unes.
a) Atomes dans un état de spin déterminé
Nous pouvons trier les atomes d’argent qui se trouvent dans un état de spin déterminé
à l’aide de l’appareil de Stern et Gerlach. Pour cela, perçons un trou dans la plaque P,
représentée sur la figure 10.2, à l’endroit A où arrivent les électrons qui se trouvent
dans l’état de spin |+. On obtient ainsi un jet d’atomes qui se trouvent tous dans le
même état. L’appareil est l’équivalent d’un « polariseur atomique » puisqu’il réalise
ce qu’on obtient avec un polariseur classique pour les photons.
Utilisons le jet d’atomes dans l’état |+ pour le faire passer dans le champ magnétique
− →
B 2 créé par un second électroaimant E 2 , schématisé sur la figure 10.3.