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10 • Spin
Tous les spineurs sont donc des vecteurs propres de S
2 ; par suite, S z et S
2 ont des
vecteurs propres communs. On définit également les opérateurs S + et S − par :
S ± = S x ± iS y
(10.2.19)
Ces opérateurs sont ceux notés J ± définis au cours de l’étude générale du moment
cinétique.
10.2.5 Vecteurs d’état
Au champ de spineurs f(r, t)x décrivant l’état d’un électron, on peut faire correspondre un vecteur d’état, selon la notation de Dirac.
À la fonction d’onde f(r, t) on associe le vecteur d’état |f(t), ainsi qu’on l’a vu
au chapitre 3. Ces vecteurs forment l’espace vectoriel E r .
a) Base de l’espace des états de spin
À un spineur x, on associe un vecteur d’état de spin, noté | x. Ces vecteurs forment
un espace vectoriel à deux dimensions, noté E s .
Aux vecteurs h 1 et h 2 formant la base canonique de l’espace des spineurs sont
associés les vecteurs kets notés |+ et |−− car ils correspondent respectivement aux
valeurs propres + /2 et − /2 de l’opérateur S z agissant sur les vecteurs de l’espace
E s . On a donc, pour les vecteurs de base orthonormés :
+|−− = 0 ; +|+ = −|−− = 1 ; S z |±± = ±
2
|±±
(10.2.20)
b) Espace des états de l’électron
Si l’on considère à présent les propriétés de spin de l’électron, les vecteurs d’état de
l’électron vont être des éléments de l’espace produit tensoriel de E r par E s , soit :
E = E r ⊗ E s
(10.2.21)
Les vecteurs de base de E r sont notés |r = |x, y, z et ceux de E s sont notés |´ où
´ est égal à + ou −. Les vecteurs de base de l’espace produit tensoriel E sont alors
donnés par les produits tensoriels :
|r, ´ = |r ⊗ |´
(10.2.22)
Un vecteur d’état |c(t) de l’espace E a donc pour réalisation-|r, ´, sur la base
{|r, ´}, l’ensemble de ses composantes données par :
r, ´|c(t) = c ´ (r, t)
(10.2.23)
et qui dépendent de quatre variables : les trois coordonnées continues x, y, z (notées r)
et la variable discrète ´, prenant deux valeurs (notées + et −). Pour caractériser l’état
d’un électron, on doit donc se donner deux fonctions c + (r, t) et c − (r, t), formant
les composantes d’un spineur, telles que :
c + (r, t) = r, +|c(t) ; c − (r, t) = r, −|c(t)
(10.2.24)
10 • Spin
Tous les spineurs sont donc des vecteurs propres de S
2 ; par suite, S z et S
2 ont des
vecteurs propres communs. On définit également les opérateurs S + et S − par :
S ± = S x ± iS y
(10.2.19)
Ces opérateurs sont ceux notés J ± définis au cours de l’étude générale du moment
cinétique.
10.2.5 Vecteurs d’état
Au champ de spineurs f(r, t)x décrivant l’état d’un électron, on peut faire correspondre un vecteur d’état, selon la notation de Dirac.
À la fonction d’onde f(r, t) on associe le vecteur d’état |f(t), ainsi qu’on l’a vu
au chapitre 3. Ces vecteurs forment l’espace vectoriel E r .
a) Base de l’espace des états de spin
À un spineur x, on associe un vecteur d’état de spin, noté | x. Ces vecteurs forment
un espace vectoriel à deux dimensions, noté E s .
Aux vecteurs h 1 et h 2 formant la base canonique de l’espace des spineurs sont
associés les vecteurs kets notés |+ et |−− car ils correspondent respectivement aux
valeurs propres + /2 et − /2 de l’opérateur S z agissant sur les vecteurs de l’espace
E s . On a donc, pour les vecteurs de base orthonormés :
+|−− = 0 ; +|+ = −|−− = 1 ; S z |±± = ±
2
|±±
(10.2.20)
b) Espace des états de l’électron
Si l’on considère à présent les propriétés de spin de l’électron, les vecteurs d’état de
l’électron vont être des éléments de l’espace produit tensoriel de E r par E s , soit :
E = E r ⊗ E s
(10.2.21)
Les vecteurs de base de E r sont notés |r = |x, y, z et ceux de E s sont notés |´ où
´ est égal à + ou −. Les vecteurs de base de l’espace produit tensoriel E sont alors
donnés par les produits tensoriels :
|r, ´ = |r ⊗ |´
(10.2.22)
Un vecteur d’état |c(t) de l’espace E a donc pour réalisation-|r, ´, sur la base
{|r, ´}, l’ensemble de ses composantes données par :
r, ´|c(t) = c ´ (r, t)
(10.2.23)
et qui dépendent de quatre variables : les trois coordonnées continues x, y, z (notées r)
et la variable discrète ´, prenant deux valeurs (notées + et −). Pour caractériser l’état
d’un électron, on doit donc se donner deux fonctions c + (r, t) et c − (r, t), formant
les composantes d’un spineur, telles que :
c + (r, t) = r, +|c(t) ; c − (r, t) = r, −|c(t)
(10.2.24)