10.2 Spin de l’électron
227
b) Valeurs propres de S x , S y , S u
Le calcul des vecteurs propres de S x et S y sur la base {h 1 , h 2 } nous donne les vecteurs
respectifs :
h x, 1 =
1
√
2
(h 1 + h 2 )
;
h x,2 =
1
√
2
(h 1 − h 2 )
h y, 1 =
1
√
2
(h 1 + ih 2 )
;
h y,2 =
1
√
2
(h 1 − ih 2 )
(10.2.13)
Les valeurs propres associées sont respectivement ± /2. Ces valeurs sont les mêmes
que celles de S z , résultat qui est physiquement satisfaisant. En effet, l’espace étant
isotrope, les mesures des composantes du moment magnétique de l’électron, et donc
de celles du spin, ne doivent pas dépendre d’une direction particulière.
Considérons à présent une direction quelconque dans l’espace définie par les coordonnées sphériques u et w. Soit u le vecteur unitaire porté par cette direction. Le
vecteur moment de spin
− →
S a pour composante S u selon cette direction :
S u =
− →
S ·u = S x sin u cos w + S y sin u sin w + S z cos u
(10.2.14)
Aux composantes de
− →
S correspondent les matrices S x , S y , S z , d’où la matrice S u
dans la base {h 1 , h 2 } :
S u = S x sin u cos w + S y sin u sin w + S z cos u =
2
cos u
sin u e −iw
sin u e
iw
− cos u
(10.2.15)
La matrice S u représente l’observable correspondante S u = S·u. On obtient également pour valeurs propres de cette matrice : ± /2, ce qui confirme la remarque
précédente à propos de l’isotropie de l’espace.
Déterminons les vecteurs propres de norme unité de S u sur la base des vecteurs
propres de S z . On obtient :
h u, 1 = cos
u
2
e
−iw/2 h 1 + sin
u
2
e
iw/2 h 2
h u, 2 = − sin
u
2
e
−iw/2 h 1 + cos
u
2
e
iw/2 h 2
(10.2.16)
c) Autres opérateurs
Définissons l’opérateur S
2 par :
S
2 = S
2
x + S
2
y + S
2
z
(10.2.17)
Les matrices S x , S y , S z sont données par (10.2.4) et les matrices de Pauli étant telles
que : s
2
i = s 0 , on obtient pour expression de la matrice [S
2 ] représentant l’observable
S
2 :
[S
2 ] =
3
4
2 s 0
(10.2.18)
227
b) Valeurs propres de S x , S y , S u
Le calcul des vecteurs propres de S x et S y sur la base {h 1 , h 2 } nous donne les vecteurs
respectifs :
h x, 1 =
1
√
2
(h 1 + h 2 )
;
h x,2 =
1
√
2
(h 1 − h 2 )
h y, 1 =
1
√
2
(h 1 + ih 2 )
;
h y,2 =
1
√
2
(h 1 − ih 2 )
(10.2.13)
Les valeurs propres associées sont respectivement ± /2. Ces valeurs sont les mêmes
que celles de S z , résultat qui est physiquement satisfaisant. En effet, l’espace étant
isotrope, les mesures des composantes du moment magnétique de l’électron, et donc
de celles du spin, ne doivent pas dépendre d’une direction particulière.
Considérons à présent une direction quelconque dans l’espace définie par les coordonnées sphériques u et w. Soit u le vecteur unitaire porté par cette direction. Le
vecteur moment de spin
− →
S a pour composante S u selon cette direction :
S u =
− →
S ·u = S x sin u cos w + S y sin u sin w + S z cos u
(10.2.14)
Aux composantes de
− →
S correspondent les matrices S x , S y , S z , d’où la matrice S u
dans la base {h 1 , h 2 } :
S u = S x sin u cos w + S y sin u sin w + S z cos u =
2
cos u
sin u e −iw
sin u e
iw
− cos u
(10.2.15)
La matrice S u représente l’observable correspondante S u = S·u. On obtient également pour valeurs propres de cette matrice : ± /2, ce qui confirme la remarque
précédente à propos de l’isotropie de l’espace.
Déterminons les vecteurs propres de norme unité de S u sur la base des vecteurs
propres de S z . On obtient :
h u, 1 = cos
u
2
e
−iw/2 h 1 + sin
u
2
e
iw/2 h 2
h u, 2 = − sin
u
2
e
−iw/2 h 1 + cos
u
2
e
iw/2 h 2
(10.2.16)
c) Autres opérateurs
Définissons l’opérateur S
2 par :
S
2 = S
2
x + S
2
y + S
2
z
(10.2.17)
Les matrices S x , S y , S z sont données par (10.2.4) et les matrices de Pauli étant telles
que : s
2
i = s 0 , on obtient pour expression de la matrice [S
2 ] représentant l’observable
S
2 :
[S
2 ] =
3
4
2 s 0
(10.2.18)