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10 • Spin
On obtient les relations de commutation suivantes, en utilisant les relations précédentes :
[s 1 , s 2 ] = 2is 3 ; [s 2 , s 3 ] = 2is 1 ; [s 3 , s 1 ] = 2is 2
(10.2.8)
Les matrices de Pauli et la matrice s 0 forment un ensemble de quatre matrices linéairement indépendantes. Toute matrice d’ordre deux peut s’écrire sur la base formée
par ces quatre matrices.
À titre d’exercice, nous vérifierons l’identité suivante (exercice 10.1) :
(s·A)(s·B) = A·B + is·(A × B)
(10.2.9)
où A et B sont deux vecteurs quelconques.
10.2.4 Spineur
Les matrices S x , S y , S z , définies par (10.2.4), sont des matrices de rotation agissant
dans l’espace des spineurs. Ainsi les vecteurs x = (x 1 , x 2 ), définis par (10.2.3), sont
des spineurs sur lesquels agissent les opérateurs de spin.
Dans la théorie des spineurs du chapitre 9, nous avons considéré des nombres
complexes quelconques (x 1 , x 2 ) formant des spineurs. Or ces nombres peuvent naturellement être multipliés par une fonction f(r, t) définie en tout point d’un certain
domaine de l’espace. On forme ainsi les composantes (f(r, t) x 1 , f(r, t)x 2 ) d’un
spineur f(r, t)x défini sur ce domaine ; on dit qu’on a un champ de spineurs ou
champ spinoriel.
Les opérateurs de spin n’agissant que sur les spineurs, on a, par exemple :
S z f(r, t) x = f(r, t) S z x
(10.2.10)
a) Vecteurs propres de S z
Considérons la base canonique de l’espace des spineurs :
h 1 =
1
0
; h 2 =
0
1
(10.2.11)
C’est une base orthonormée et tout spineur x = (x 1 , x 2 ) s’écrit sur cette base :
x = x 1 h 1 + x 2 h 2 . En appliquant la matrice S z au spineur h 1 , on obtient :
S z h 1 =
2
1
0
0 −1
1
0
=
2
1
0
=
2
h 1
(10.2.12a)
Le spineur h 1 est un vecteur propre de S z correspondant à la valeur propre /2. On
a de même :
S z h 2 =
2
1
0
0 −1
0
1
=
2
0
−1
= −
2
h 2
(10.2.12b)
Le spineur h 2 est un vecteur propre de S z associé à la valeur propre − /2.
10 • Spin
On obtient les relations de commutation suivantes, en utilisant les relations précédentes :
[s 1 , s 2 ] = 2is 3 ; [s 2 , s 3 ] = 2is 1 ; [s 3 , s 1 ] = 2is 2
(10.2.8)
Les matrices de Pauli et la matrice s 0 forment un ensemble de quatre matrices linéairement indépendantes. Toute matrice d’ordre deux peut s’écrire sur la base formée
par ces quatre matrices.
À titre d’exercice, nous vérifierons l’identité suivante (exercice 10.1) :
(s·A)(s·B) = A·B + is·(A × B)
(10.2.9)
où A et B sont deux vecteurs quelconques.
10.2.4 Spineur
Les matrices S x , S y , S z , définies par (10.2.4), sont des matrices de rotation agissant
dans l’espace des spineurs. Ainsi les vecteurs x = (x 1 , x 2 ), définis par (10.2.3), sont
des spineurs sur lesquels agissent les opérateurs de spin.
Dans la théorie des spineurs du chapitre 9, nous avons considéré des nombres
complexes quelconques (x 1 , x 2 ) formant des spineurs. Or ces nombres peuvent naturellement être multipliés par une fonction f(r, t) définie en tout point d’un certain
domaine de l’espace. On forme ainsi les composantes (f(r, t) x 1 , f(r, t)x 2 ) d’un
spineur f(r, t)x défini sur ce domaine ; on dit qu’on a un champ de spineurs ou
champ spinoriel.
Les opérateurs de spin n’agissant que sur les spineurs, on a, par exemple :
S z f(r, t) x = f(r, t) S z x
(10.2.10)
a) Vecteurs propres de S z
Considérons la base canonique de l’espace des spineurs :
h 1 =
1
0
; h 2 =
0
1
(10.2.11)
C’est une base orthonormée et tout spineur x = (x 1 , x 2 ) s’écrit sur cette base :
x = x 1 h 1 + x 2 h 2 . En appliquant la matrice S z au spineur h 1 , on obtient :
S z h 1 =
2
1
0
0 −1
1
0
=
2
1
0
=
2
h 1
(10.2.12a)
Le spineur h 1 est un vecteur propre de S z correspondant à la valeur propre /2. On
a de même :
S z h 2 =
2
1
0
0 −1
0
1
=
2
0
−1
= −
2
h 2
(10.2.12b)
Le spineur h 2 est un vecteur propre de S z associé à la valeur propre − /2.