10.2 Spin de l’électron
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que le vecteur (c 1 , c 2 ) peut s’écrire sous la forme :
c 1 (r, t)
c 2 (r, t)
= f(r, t)
x 1
x 2
= f(r, t)x
(10.2.3)
où x est un vecteur décrivant l’état de spin de l’électron. Ce vecteur x ne dépend pas
des variables d’espace puisque le magnétisme de l’électron est étranger à son mouvement dans l’espace. Par contre le vecteur x doit permettre d’exprimer les propriétés
magnétiques expérimentales de l’électron.
10.2.3 Opérateur de spin
L’opérateur de moment cinétique coïncide, pour l’essentiel, avec l’opérateur de rotation infinitésimale ainsi qu’on l’a vu au chapitre 6. Comme nous l’avons fait pour le
moment cinétique orbital, nous allons utiliser les propriétés des rotations infinitésimales pour le spin. Cependant, nous ne devons pas a priori nous limiter aux valeurs
entières des poids j des représentations D
(j) du groupe SO(3).
Dans le cas du moment de spin, nous allons considérer un opérateur de spin, noté
S, qui agit sur le seul vecteur x décrivant l’état de spin de l’électron. Ne connaissant
pas les propriétés de ce vecteur, nous devons considérer S comme l’opérateur de
rotation le plus général.
Notons S x , S y , S z , les composantes de S. Le vecteur x possédant deux composantes,
il faut que les opérateurs S x , S y , S z soient représentés par des matrices d’ordre deux.
Or les matrices de la représentation D
(1/2) du groupe SO(3) sont les seules matrices
d’ordre deux et sont données par les expressions (6.2.28). Notons s x , s y , s z , les
matrices de Pauli ; les matrices qui représentent les opérateurs de spin sont données
par :
S x =
2
s x ; S y =
2
s y ; S z =
2
s z
(10.2.4)
Notons s le vecteur ayant pour composantes les matrices de Pauli ; l’opérateur de
spin S s’écrit alors :
S =
2
s
(10.2.5)
➤ Propriétés des matrices de Pauli
À partir de la forme explicite (6.2.29) des matrices de Pauli, on établit aisément leurs
propriétés. Notons s x = s 1 , s y = s 2 , s z = s 3 et s 0 la matrice unité. On obtient :
s i s j + s j s i = 2d ij s 0 ; i, j = 1, 2, 3
(10.2.6)
Les produits des matrices entre elles donnent les relations :
s 1 s 2 = is 3 ; s 2 s 3 = is 1 ; s 3 s 1 = is 2
(10.2.7)
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que le vecteur (c 1 , c 2 ) peut s’écrire sous la forme :
c 1 (r, t)
c 2 (r, t)
= f(r, t)
x 1
x 2
= f(r, t)x
(10.2.3)
où x est un vecteur décrivant l’état de spin de l’électron. Ce vecteur x ne dépend pas
des variables d’espace puisque le magnétisme de l’électron est étranger à son mouvement dans l’espace. Par contre le vecteur x doit permettre d’exprimer les propriétés
magnétiques expérimentales de l’électron.
10.2.3 Opérateur de spin
L’opérateur de moment cinétique coïncide, pour l’essentiel, avec l’opérateur de rotation infinitésimale ainsi qu’on l’a vu au chapitre 6. Comme nous l’avons fait pour le
moment cinétique orbital, nous allons utiliser les propriétés des rotations infinitésimales pour le spin. Cependant, nous ne devons pas a priori nous limiter aux valeurs
entières des poids j des représentations D
(j) du groupe SO(3).
Dans le cas du moment de spin, nous allons considérer un opérateur de spin, noté
S, qui agit sur le seul vecteur x décrivant l’état de spin de l’électron. Ne connaissant
pas les propriétés de ce vecteur, nous devons considérer S comme l’opérateur de
rotation le plus général.
Notons S x , S y , S z , les composantes de S. Le vecteur x possédant deux composantes,
il faut que les opérateurs S x , S y , S z soient représentés par des matrices d’ordre deux.
Or les matrices de la représentation D
(1/2) du groupe SO(3) sont les seules matrices
d’ordre deux et sont données par les expressions (6.2.28). Notons s x , s y , s z , les
matrices de Pauli ; les matrices qui représentent les opérateurs de spin sont données
par :
S x =
2
s x ; S y =
2
s y ; S z =
2
s z
(10.2.4)
Notons s le vecteur ayant pour composantes les matrices de Pauli ; l’opérateur de
spin S s’écrit alors :
S =
2
s
(10.2.5)
➤ Propriétés des matrices de Pauli
À partir de la forme explicite (6.2.29) des matrices de Pauli, on établit aisément leurs
propriétés. Notons s x = s 1 , s y = s 2 , s z = s 3 et s 0 la matrice unité. On obtient :
s i s j + s j s i = 2d ij s 0 ; i, j = 1, 2, 3
(10.2.6)
Les produits des matrices entre elles donnent les relations :
s 1 s 2 = is 3 ; s 2 s 3 = is 1 ; s 3 s 1 = is 2
(10.2.7)