1.2 Contenu physique des fonctions d’onde
11
Ainsi la valeur moyenne de la composante p x de l’impulsion est :
p x =
f
∗ (p) p x f(p) d
3 p
(1.2.14)
1.2.5 Inégalités de Heisenberg
L’extension spatiale du paquet d’ondes (1.1.1) qui sert à représenter l’onde associée
à une particule engendre une certaine indétermination sur la position de la particule
puisqu’on ne connaît pas la structure onde-particule. Ceci engendre l’interprétation
statistique de la fonction d’onde. En conséquence, les notions mathématiques classiques relatives aux statistiques vont pouvoir être utilisées pour définir les incertitudes résultant de mesures statistiques.
Afin d’alléger l’écriture, considérons le cas d’une particule se déplaçant dans une
seule direction x et dont la composante de l’impulsion p se réduit à p x . Notons Dx
l’écart quadratique moyen de la distribution |c(x)|
2 . Notons x la valeur moyenne
donnée par (1.2.12). L’écart quadratique moyen s’écrit :
Dx =
(x − −x) 2
(1.2.15)
De même, notons p x la valeur moyenne de p x donnée par (1.2.14) ; l’écart quadratique moyen Dp x de la densité de probabilité |f( p x )|
2 s’écrit :
Dp x =
(p x − −p x ) 2
(1.2.16)
Les quantités Dx et Dp x représentent respectivement les fluctuations statistiques des
résultats des mesures autour des valeurs moyennes x et p x . On démontrera au
chapitre 3 qu’on a la relation générale :
Dx Dp x
2
(1.2.17)
Cette inégalité constitue une des inégalités de Heisenberg. Elle traduit le résultat
mathématique que l’extension de l’onde c(r) et celle de sa transformée de Fourier
f(p) sont nécessairement inverses l’une de l’autre. En d’autres termes, on ne pourra
jamais, lors d’une mesure, attribuer simultanément une position et une impulsion
rigoureusement précises à une particule quantique.
L’inégalité (1.2.17) se généralise au cas de l’espace à trois dimensions. Notons Dx,
Dy, Dz les écarts quadratiques moyens relatifs aux coordonnées x, y, z et Dp x , Dp y ,
Dp z , les quantités correspondantes relatives à l’impulsion. Les inégalités de Heisenberg sont les suivantes :
Dx Dp x
2
; Dy Dp y
2
; Dz Dp z
2
(1.2.18)
Cette indétermination sur les mesures simultanées de position et d’impulsion est due
au fait que le système physique subit nécessairement lors d’une mesure une perturbation incontrôlable et suffisamment importante pour que les inégalités (1.2.18) soient
toujours vérifiées.
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Ainsi la valeur moyenne de la composante p x de l’impulsion est :
p x =
f
∗ (p) p x f(p) d
3 p
(1.2.14)
1.2.5 Inégalités de Heisenberg
L’extension spatiale du paquet d’ondes (1.1.1) qui sert à représenter l’onde associée
à une particule engendre une certaine indétermination sur la position de la particule
puisqu’on ne connaît pas la structure onde-particule. Ceci engendre l’interprétation
statistique de la fonction d’onde. En conséquence, les notions mathématiques classiques relatives aux statistiques vont pouvoir être utilisées pour définir les incertitudes résultant de mesures statistiques.
Afin d’alléger l’écriture, considérons le cas d’une particule se déplaçant dans une
seule direction x et dont la composante de l’impulsion p se réduit à p x . Notons Dx
l’écart quadratique moyen de la distribution |c(x)|
2 . Notons x la valeur moyenne
donnée par (1.2.12). L’écart quadratique moyen s’écrit :
Dx =
(x − −x) 2
(1.2.15)
De même, notons p x la valeur moyenne de p x donnée par (1.2.14) ; l’écart quadratique moyen Dp x de la densité de probabilité |f( p x )|
2 s’écrit :
Dp x =
(p x − −p x ) 2
(1.2.16)
Les quantités Dx et Dp x représentent respectivement les fluctuations statistiques des
résultats des mesures autour des valeurs moyennes x et p x . On démontrera au
chapitre 3 qu’on a la relation générale :
Dx Dp x
2
(1.2.17)
Cette inégalité constitue une des inégalités de Heisenberg. Elle traduit le résultat
mathématique que l’extension de l’onde c(r) et celle de sa transformée de Fourier
f(p) sont nécessairement inverses l’une de l’autre. En d’autres termes, on ne pourra
jamais, lors d’une mesure, attribuer simultanément une position et une impulsion
rigoureusement précises à une particule quantique.
L’inégalité (1.2.17) se généralise au cas de l’espace à trois dimensions. Notons Dx,
Dy, Dz les écarts quadratiques moyens relatifs aux coordonnées x, y, z et Dp x , Dp y ,
Dp z , les quantités correspondantes relatives à l’impulsion. Les inégalités de Heisenberg sont les suivantes :
Dx Dp x
2
; Dy Dp y
2
; Dz Dp z
2
(1.2.18)
Cette indétermination sur les mesures simultanées de position et d’impulsion est due
au fait que le système physique subit nécessairement lors d’une mesure une perturbation incontrôlable et suffisamment importante pour que les inégalités (1.2.18) soient
toujours vérifiées.