10
1 • Sources de la mécanique quantique
on pourra seulement définir la probabilité de trouver l’impulsion dans un certain
domaine de l’espace des impulsions.
Pour définir cette probabilité, introduisons la transformée de Fourier f(p) de la
fonction d’onde c(r) de la particule, soit :
f(p) =
1
(2p ) 3/2
c(r)e
−ip·r/ d
3 r
(1.2.8)
La transformation de Fourier établit une correspondance biunivoque entre les fonctions d’onde c(r) et leurs transformées de Fourier grâce à la transformée inverse :
c(r) =
1
(2p ) 3/2
f(p)e
ip·r/ d
3 p
(1.2.9)
Ainsi la donnée de f(p) aussi bien que celle de c(r) peuvent servir à définir l’état
dynamique de la particule. On appelle f(p) la fonction d’onde dans l’espace des
impulsions. On dira que les fonctions c(r) et f(p) constituent des réalisations équivalentes d’un même état dynamique de la particule.
La densité de probabilité P(p), donnant la probabilité P(p) d
3 p de trouver une
valeur de l’impulsion dans l’élément de volume d
3 p situé en p, est définie par :
P(p) = f(p)f
∗ (p) = |f(p)|
2
(1.2.10)
et la condition de normalisation de la fonction f(p) est automatiquement vérifiée si
la fonction c(r) est déjà normalisée.
1.2.4 Valeur moyenne
La notion de probabilité de présence d’une particule en un point donné et à un instant
t permet de définir la valeur moyenne prise à cet instant par une fonction quelconque
F(r) des coordonnées de la particule. Lorsque la fonction d’onde est connue, il en est
de même de P(r), et la valeur moyenne notée F(r) des mesures de F(r) réalisées sur
un échantillon macroscopique formé d’un très grand nombre de particules identiques,
indépendantes les unes des autres, est donnée par :
F(r) =
P(r) F(r) d
3 r
(1.2.11)
Il faut naturellement que l’intégrale (1.2.11) converge pour que la valeur moyenne
de F(r) ait un sens. A titre d’exemple, la valeur moyenne de la coordonnée x de la
particule, compte tenu de la définition (1.2.1) de P(r), s’écrit :
x =
c
∗ (r) x c(r) d
3 r
(1.2.12)
La valeur moyenne F(p) d’une fonction F(p) de l’impulsion est définie par :
F(p) =
f
∗ (p) F(p) f(p) d
3 p
(1.2.13)
1 • Sources de la mécanique quantique
on pourra seulement définir la probabilité de trouver l’impulsion dans un certain
domaine de l’espace des impulsions.
Pour définir cette probabilité, introduisons la transformée de Fourier f(p) de la
fonction d’onde c(r) de la particule, soit :
f(p) =
1
(2p ) 3/2
c(r)e
−ip·r/ d
3 r
(1.2.8)
La transformation de Fourier établit une correspondance biunivoque entre les fonctions d’onde c(r) et leurs transformées de Fourier grâce à la transformée inverse :
c(r) =
1
(2p ) 3/2
f(p)e
ip·r/ d
3 p
(1.2.9)
Ainsi la donnée de f(p) aussi bien que celle de c(r) peuvent servir à définir l’état
dynamique de la particule. On appelle f(p) la fonction d’onde dans l’espace des
impulsions. On dira que les fonctions c(r) et f(p) constituent des réalisations équivalentes d’un même état dynamique de la particule.
La densité de probabilité P(p), donnant la probabilité P(p) d
3 p de trouver une
valeur de l’impulsion dans l’élément de volume d
3 p situé en p, est définie par :
P(p) = f(p)f
∗ (p) = |f(p)|
2
(1.2.10)
et la condition de normalisation de la fonction f(p) est automatiquement vérifiée si
la fonction c(r) est déjà normalisée.
1.2.4 Valeur moyenne
La notion de probabilité de présence d’une particule en un point donné et à un instant
t permet de définir la valeur moyenne prise à cet instant par une fonction quelconque
F(r) des coordonnées de la particule. Lorsque la fonction d’onde est connue, il en est
de même de P(r), et la valeur moyenne notée F(r) des mesures de F(r) réalisées sur
un échantillon macroscopique formé d’un très grand nombre de particules identiques,
indépendantes les unes des autres, est donnée par :
F(r) =
P(r) F(r) d
3 r
(1.2.11)
Il faut naturellement que l’intégrale (1.2.11) converge pour que la valeur moyenne
de F(r) ait un sens. A titre d’exemple, la valeur moyenne de la coordonnée x de la
particule, compte tenu de la définition (1.2.1) de P(r), s’écrit :
x =
c
∗ (r) x c(r) d
3 r
(1.2.12)
La valeur moyenne F(p) d’une fonction F(p) de l’impulsion est définie par :
F(p) =
f
∗ (p) F(p) f(p) d
3 p
(1.2.13)