1.2 Contenu physique des fonctions d’onde
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particule, soit :
c(r 1 , r 2 ) = c 1 (r 1 ) c 2 (r 2 )
( 1 .2.6)
Si les particules n’interagissent pas au cours du temps, une telle relation reste également vraie pour les fonctions d’onde exprimées en fonction du temps. La factorisation (1.2.6) se généralise aux systèmes formés d’un nombre quelconque de particules
indépendantes.
1.2.2 Propriétés des fonctions d’onde
L’interprétation statistique des fonctions d’onde nécessite certaines propriétés de ces
fonctions ; en particulier, qu’elles soient de carré sommable.
a) Coefficient de normalisation
La relation (1.2.3) est la condition de normalisation ; pour qu’elle soit vérifiée il suffit
de multiplier la fonction d’onde par un nombre convenable N appelé le coefficient de
normalisation. Si c(r) est une fonction de carré sommable non normalisée, on obtient
N en écrivant la relation :
N
2
|c(r)|
2 d
3 r = 1
( 1 .2.7)
b) Constante de phase
Les solutions c de l’équation de Schrödinger sont calculées à un coefficient de proportionnalité près. Or les densités de probabilité cc
∗ ne sont pas affectées si l’on
multiplie la fonction d’onde par e
ia , où a est un nombre réel quelconque.
Les fonctions d’onde sont donc définies à une constante de « phase » près, de la
forme e
ia , de module égal à l’unité. C’est une multivocité intrinsèque qui ne peut être
éliminée mais qui n’affecte nullement les résultats physiques.
c) Uniformité et continuité
L’interprétation statistique de |c|
2 nécessite l’uniformité de la fonction d’onde c car,
en un point donné, la densité de probabilité de présence ne peut prendre qu’une seule
valeur.
La condition de normalisation nécessite que |c|
2 ait en tout point une valeur finie
et il en est donc de même pour la fonction d’onde. De plus, la forme de l’équation
de Schrödinger montre que la valeur finie de l’énergie potentielle ainsi que celle de
c donne une dérivée seconde finie, d’où la continuité de la dérivée première et de la
fonction d’onde.
1.2.3 Fonction d’onde dans l’espace des impulsions
En général, on ne pourra pas attribuer une impulsion précise à une particule quantique lorsque l’onde associée sera une superposition d’ondes planes de vecteur
d’onde k = p/ variable. Si l’on envisage de mesurer l’impulsion de la particule,
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particule, soit :
c(r 1 , r 2 ) = c 1 (r 1 ) c 2 (r 2 )
( 1 .2.6)
Si les particules n’interagissent pas au cours du temps, une telle relation reste également vraie pour les fonctions d’onde exprimées en fonction du temps. La factorisation (1.2.6) se généralise aux systèmes formés d’un nombre quelconque de particules
indépendantes.
1.2.2 Propriétés des fonctions d’onde
L’interprétation statistique des fonctions d’onde nécessite certaines propriétés de ces
fonctions ; en particulier, qu’elles soient de carré sommable.
a) Coefficient de normalisation
La relation (1.2.3) est la condition de normalisation ; pour qu’elle soit vérifiée il suffit
de multiplier la fonction d’onde par un nombre convenable N appelé le coefficient de
normalisation. Si c(r) est une fonction de carré sommable non normalisée, on obtient
N en écrivant la relation :
N
2
|c(r)|
2 d
3 r = 1
( 1 .2.7)
b) Constante de phase
Les solutions c de l’équation de Schrödinger sont calculées à un coefficient de proportionnalité près. Or les densités de probabilité cc
∗ ne sont pas affectées si l’on
multiplie la fonction d’onde par e
ia , où a est un nombre réel quelconque.
Les fonctions d’onde sont donc définies à une constante de « phase » près, de la
forme e
ia , de module égal à l’unité. C’est une multivocité intrinsèque qui ne peut être
éliminée mais qui n’affecte nullement les résultats physiques.
c) Uniformité et continuité
L’interprétation statistique de |c|
2 nécessite l’uniformité de la fonction d’onde c car,
en un point donné, la densité de probabilité de présence ne peut prendre qu’une seule
valeur.
La condition de normalisation nécessite que |c|
2 ait en tout point une valeur finie
et il en est donc de même pour la fonction d’onde. De plus, la forme de l’équation
de Schrödinger montre que la valeur finie de l’énergie potentielle ainsi que celle de
c donne une dérivée seconde finie, d’où la continuité de la dérivée première et de la
fonction d’onde.
1.2.3 Fonction d’onde dans l’espace des impulsions
En général, on ne pourra pas attribuer une impulsion précise à une particule quantique lorsque l’onde associée sera une superposition d’ondes planes de vecteur
d’onde k = p/ variable. Si l’on envisage de mesurer l’impulsion de la particule,