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1 • Sources de la mécanique quantique
b) Probabilité de présence
Or le nombre de particules présentes dans un volume élémentaire donné est également proportionnel à la probabilité de présence de ces particules dans ce volume,
donc cette probabilité est proportionnelle à |c(r)|
2 . Ce résultat s’étend également à la
probabilité de présence d’une particule représentée par une fonction d’onde c(r, t).
Considérons le volume élémentaire d
3 r de l’espace et notons P(r) d
3 r la probabilité de trouver la particule dans cet élément de volume. La quantité P(r) est appelée
la densité de probabilité de présence. Définissons P(r) par :
P(r) = c
∗ (r)c(r) = |c(r)|
2
(1.2.1)
Le module carré de l’onde représente une quantité qui, comme en physique classique, peut être considérée comme proportionnelle à son intensité. On obtiendra la
probabilité P (V ) de trouver la particule dans un volume fini V par intégration de
P(r) dans ce volume, soit :
P (V ) =
V
P(r) d
3 r
(1.2.2)
En particulier, si l’on effectue une intégration étendue à tout l’espace, on doit avoir :
P(r) d
3 r =
|c(r)|
2 d
3 r = 1
( 1 .2.3)
Les fonctions d’onde c(r) doivent donc être de carré sommable.
La définition (1.2.1) se généralise pour tout système comportant un nombre quelconque de particules. Considérons, par exemple, un système de deux particules de
coordonnées r 1 et r 2 ; P(r 1 , r 2 ) = |c(r 1 , r 2 )|
2 est la densité de probabilité de ces particules et P(r 1 , r 2 ) d
3 r 1 d
3 r 2 est la probabilité de trouver la particule 1 dans l’élément
de volume d
3 r 1 et la particule 2 dans l’élément d
3 r 2 . La condition de normalisation
s’écrit :
|c(r 1 , r 2 )|
2 d
3 r 1 d
3 r 2 = 1
( 1 .2.4)
où l’intégrale ci-dessus est une intégrale sextuple étendue à tout l’espace de configuration.
c) Particules indépendantes
Envisageons un système formé de deux particules qui n’interagissent pas entre elles
ou dont les interactions peuvent être négligées en première approximation. On peut
alors affirmer que les probabilités des coordonnées d’une particule sont indépendantes des probabilités de l’autre. Par suite, la distribution des probabilités pour le
système des deux particules doit être égale au produit des probabilités relatives à
chaque particule, soit :
P(r 1 , r 2 ) = |c(r 1 , r 2 )|
2 = P 1 (r 1 ) P 2 (r 2 ) = |c 1 (r 1 )|
2
|c 2 (r 2 )|
2
(1.2.5)
En conséquence, la fonction d’onde c(r 1 , r 2 ) du système de deux particules peut
être mise sous la forme du produit des fonctions d’onde c 1 (r 1 ) et c 2 (r 2 ) de chaque
1 • Sources de la mécanique quantique
b) Probabilité de présence
Or le nombre de particules présentes dans un volume élémentaire donné est également proportionnel à la probabilité de présence de ces particules dans ce volume,
donc cette probabilité est proportionnelle à |c(r)|
2 . Ce résultat s’étend également à la
probabilité de présence d’une particule représentée par une fonction d’onde c(r, t).
Considérons le volume élémentaire d
3 r de l’espace et notons P(r) d
3 r la probabilité de trouver la particule dans cet élément de volume. La quantité P(r) est appelée
la densité de probabilité de présence. Définissons P(r) par :
P(r) = c
∗ (r)c(r) = |c(r)|
2
(1.2.1)
Le module carré de l’onde représente une quantité qui, comme en physique classique, peut être considérée comme proportionnelle à son intensité. On obtiendra la
probabilité P (V ) de trouver la particule dans un volume fini V par intégration de
P(r) dans ce volume, soit :
P (V ) =
V
P(r) d
3 r
(1.2.2)
En particulier, si l’on effectue une intégration étendue à tout l’espace, on doit avoir :
P(r) d
3 r =
|c(r)|
2 d
3 r = 1
( 1 .2.3)
Les fonctions d’onde c(r) doivent donc être de carré sommable.
La définition (1.2.1) se généralise pour tout système comportant un nombre quelconque de particules. Considérons, par exemple, un système de deux particules de
coordonnées r 1 et r 2 ; P(r 1 , r 2 ) = |c(r 1 , r 2 )|
2 est la densité de probabilité de ces particules et P(r 1 , r 2 ) d
3 r 1 d
3 r 2 est la probabilité de trouver la particule 1 dans l’élément
de volume d
3 r 1 et la particule 2 dans l’élément d
3 r 2 . La condition de normalisation
s’écrit :
|c(r 1 , r 2 )|
2 d
3 r 1 d
3 r 2 = 1
( 1 .2.4)
où l’intégrale ci-dessus est une intégrale sextuple étendue à tout l’espace de configuration.
c) Particules indépendantes
Envisageons un système formé de deux particules qui n’interagissent pas entre elles
ou dont les interactions peuvent être négligées en première approximation. On peut
alors affirmer que les probabilités des coordonnées d’une particule sont indépendantes des probabilités de l’autre. Par suite, la distribution des probabilités pour le
système des deux particules doit être égale au produit des probabilités relatives à
chaque particule, soit :
P(r 1 , r 2 ) = |c(r 1 , r 2 )|
2 = P 1 (r 1 ) P 2 (r 2 ) = |c 1 (r 1 )|
2
|c 2 (r 2 )|
2
(1.2.5)
En conséquence, la fonction d’onde c(r 1 , r 2 ) du système de deux particules peut
être mise sous la forme du produit des fonctions d’onde c 1 (r 1 ) et c 2 (r 2 ) de chaque