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9 • Spineurs
Pour une rotation d’un angle u autour de l’axe Ox, on a : u x = 1, u y = u z = 0, d’où, compte
tenu de (9.2.9), les paramètres correspondant à cette rotation :
a = cos(u/2) ; b = −i sin(u/2)
(13)
En reportant ces expressions dans la matrice (9.3.10), il vient :
R x (a, b) =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
cos
2 u
2
−i
√
2 cos
u
2
sin
u
2
− sin
2 u
2
−i
√
2 cos
u
2
sin
u
2
cos
2 u
2
− sin
2 u
2
−i
√
2 cos
u
2
sin
u
2
− sin
2 u
2
−i
√
2 cos
u
2
sin
u
2
cos
2 u
2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(14)
La matrice infinitésimale déduite de (14) nous donne précisément la matrice A
x donnée
par (10). Des calculs analogues fourniraient les matrices A
y et A
z . Il en résulte que la représentation G
(1) de SO(3) est équivalente à la représentation spinorielle D
(1) de SU(2).
Exercice 9.4. Représentation par des harmoniques sphériques
des groupes SO(3) et SU(2)
Les harmoniques sphériques Y 1m (u, w), pour m = 1, 0, −1, constituent un
espace vectoriel de dimension trois donnant une représentation vectorielle
du groupe SO(3). Montrer que cette représentation par les harmoniques
sphériques est équivalente à la représentation spinorielle D
(1) de SU(2).
Solution.
Les harmoniques sphériques Y 1m (u, w) sont les suivantes :
Y 10 =
3
4p
cos u ; Y 11 = −
3
8p
sin u e
iw ; Y 1, −1 =
3
8p
sin u e
−iw
(1)
Soit OM un rayon-vecteur de composantes x, y, z ; en coordonnées sphériques, on a :
x = r sin u cos w ; y = r sin u sin w ; z = r cos u
(2)
Les harmoniques sphériques peuvent donc être écrites à l’aide des coordonnées cartésiennes
sous la forme :
Y 10 =
1
r
3
4p
z ; Y 11 = −
1
r
3
4p
x + iy
√
2
; Y 1, −1 =
1
r
3
4p
x − iy
√
2
(3)
On retrouve la forme des expressions (3) résultant du changement de base donné dans l’exercice 9.3 qui permet de passer de la représentation vectorielle classique à la représentation
spinorielle D
(1) . La norme r du vecteur OM étant invariante par rotation, les harmoniques
sphériques Y 1m constituent donc, à des coefficients numériques près, les composantes des
vecteurs de l’espace de représentation de D
(1) . L’espace des harmoniques sphériques Y 1m et
celui des spineurs (c
2 , cf, f
2 ) sont donc les espaces de deux représentations équivalentes
du groupe des rotations SO(3).
9 • Spineurs
Pour une rotation d’un angle u autour de l’axe Ox, on a : u x = 1, u y = u z = 0, d’où, compte
tenu de (9.2.9), les paramètres correspondant à cette rotation :
a = cos(u/2) ; b = −i sin(u/2)
(13)
En reportant ces expressions dans la matrice (9.3.10), il vient :
R x (a, b) =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
cos
2 u
2
−i
√
2 cos
u
2
sin
u
2
− sin
2 u
2
−i
√
2 cos
u
2
sin
u
2
cos
2 u
2
− sin
2 u
2
−i
√
2 cos
u
2
sin
u
2
− sin
2 u
2
−i
√
2 cos
u
2
sin
u
2
cos
2 u
2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(14)
La matrice infinitésimale déduite de (14) nous donne précisément la matrice A
x donnée
par (10). Des calculs analogues fourniraient les matrices A
y et A
z . Il en résulte que la représentation G
(1) de SO(3) est équivalente à la représentation spinorielle D
(1) de SU(2).
Exercice 9.4. Représentation par des harmoniques sphériques
des groupes SO(3) et SU(2)
Les harmoniques sphériques Y 1m (u, w), pour m = 1, 0, −1, constituent un
espace vectoriel de dimension trois donnant une représentation vectorielle
du groupe SO(3). Montrer que cette représentation par les harmoniques
sphériques est équivalente à la représentation spinorielle D
(1) de SU(2).
Solution.
Les harmoniques sphériques Y 1m (u, w) sont les suivantes :
Y 10 =
3
4p
cos u ; Y 11 = −
3
8p
sin u e
iw ; Y 1, −1 =
3
8p
sin u e
−iw
(1)
Soit OM un rayon-vecteur de composantes x, y, z ; en coordonnées sphériques, on a :
x = r sin u cos w ; y = r sin u sin w ; z = r cos u
(2)
Les harmoniques sphériques peuvent donc être écrites à l’aide des coordonnées cartésiennes
sous la forme :
Y 10 =
1
r
3
4p
z ; Y 11 = −
1
r
3
4p
x + iy
√
2
; Y 1, −1 =
1
r
3
4p
x − iy
√
2
(3)
On retrouve la forme des expressions (3) résultant du changement de base donné dans l’exercice 9.3 qui permet de passer de la représentation vectorielle classique à la représentation
spinorielle D
(1) . La norme r du vecteur OM étant invariante par rotation, les harmoniques
sphériques Y 1m constituent donc, à des coefficients numériques près, les composantes des
vecteurs de l’espace de représentation de D
(1) . L’espace des harmoniques sphériques Y 1m et
celui des spineurs (c
2 , cf, f
2 ) sont donc les espaces de deux représentations équivalentes
du groupe des rotations SO(3).