Exercices
217
Les composantes du vecteur OM sur la base {e
j } sont données par :
⎡
⎢
⎣
x
y
z
⎤
⎥
⎦ = P
−1
⎡
⎢
⎣
x
y
z
⎤
⎥
⎦ =
1
√
2
⎡
⎢
⎣
1 −i
0
0
0 −
√
2
−1 −i
0
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
x
y
z
⎤
⎥
⎦
(6)
d’où :
x
=
1
√
2
(x − iy) ; y
= −z ; z
= −
1
√
2
(x + iy)
( 7 )
2. D’après la propriété décrite par l’expression (5), on a :
⎛
⎝ R x (a)
⎡
⎣
x
y
z
⎤
⎦
⎞
⎠ = P
⎛
⎝ R
x (a)
⎡
⎣
x
y
z
⎤
⎦
⎞
⎠
(8)
Par conséquent, la matrice R
x (a) est donnée par : R
x (a) = P
−1 R x (a)P. La matrice R x (a) est
donnée par (5.5.3), d’où :
R
x (a) =
1
2
⎡
⎢
⎣
1 + cos a −i
√
2 sin a −1 + cos a
−i
√
2 sin a
2 cos a
−i
√
2 sin a
−1 + cos a −i
√
2 sin a 1 + cos a
⎤
⎥
⎦
(9)
3. Calculons la matrice infinitésimale déduite de R
x (a). On obtient :
A
x = −
i
√
2
⎡
⎢
⎣
0 1 0
1 0 1
0 1 0
⎤
⎥
⎦
(10)
La matrice infinitésimale J x de la représentation G
(1) du groupe SO(3) a ses éléments matriciels donnés par (6.2.25), avec j = 1 et m = 1, 0, −1. En classant les vecteurs | j, m dans
l’ordre suivant : |1, 1, |1, 0, |1, −1, on obtient une matrice égale à :
J
(1)
x =
√
2
⎡
⎢
⎣
0 1 0
1 0 1
0 1 0
⎤
⎥
⎦
(11)
Les matrices (10) et (11) sont identiques, à un coefficient multiplicatif près. Des calculs analogues pour les rotations autour des axes Oy et Oz conduisent à des matrices A
y et A
z proportionnelles aux matrices J
(1)
y et J
(1)
z données par :
J
(1)
y =
√
2
⎡
⎢
⎣
0 −i 0
i 0 −i
0 i
0
⎤
⎥
⎦ ; J
(1)
z =
⎡
⎢
⎣
1 0
0
0 0
0
0 0 −1
⎤
⎥
⎦
(12)
La représentation G
(1) de SO(3) sur la base canonique est donc équivalente à sa représentation
vectorielle sur la base {e
j } de E 3 .
4. Utilisons les matrices de la représentation spinorielle D
(1) du groupe SU(2) données par
(9.3.10) et remplaçons les paramètres a et b par leur expression en fonction des paramètres
de rotation.