216
9 • Spineurs
Exercice 9.3. Représentations équivalentes de SO(3) et SU(2)
Soient e 1 , e 2 , e 3 les vecteurs orthonormés, selon les axes respectifs Ox, Oy
et Oz, de l’espace géométrique E 3 et {e
1 , e
2 , e
3 } une autre base. Soit P la
matrice de passage d’une base à l’autre telle que e
j =
i
P ij e i , avec :
P =
1
√
2
⎡
⎢
⎣
1
0
−1
i
0
i
0 −
√
2 0
⎤
⎥
⎦
(1)
1. Soit OM = xe 1 +ye 2 +ze 3 , un vecteur de E 3 . En utilisant l’invariance du
vecteur OM par rapport au choix de la base, déterminer ses composantes
x , y , z sur la base
e
j
.
2. On considère une rotation d’un angle a autour de l’axe Ox. Partant de
la matrice R x (a) déterminée sur la base {e i }, calculer la matrice R
x (a) sur
la base {e
j }.
3. Calculer la matrice infinitésimale A
x déduite de R
x (a). Comparer avec
la matrice infinitésimale de la représentation G
(1) du groupe SO(3).
4. Montrer que la représentation G
(1) de SO(3) est équivalente à la représentation spinorielle D
(1) de SU(2).
Solution.
1. D’après l’énoncé, la base
e
j
s’écrit
⎡
⎣
e
1
e
2
e
3
⎤
⎦ = P
T
⎡
⎣
e 1
e 2
e 3
⎤
⎦
(2)
où P
T désigne la matrice transposée. En transposant les deux membres de l’équation (2), on
obtient :
e
1
e
2
e
3
=
e 1 e 2 e 3
P
( 3 )
Par ailleurs, l’invariance du vecteur OM se traduit par OM = xe 1 +ye 2 +ze 3 = x
e
1 +y
e
2 +z
e 3 ,
ou encore
e 1 e 2 e 3
⎡
⎣
x
y
z
⎤
⎦ =
e
1
e
2
e
3
⎡
⎣
x
y
z
⎤
⎦ ,
(4)
ce qui, compte tenu de l’expression (3), donne :
⎡
⎣
x
y
z
⎤
⎦ = P
⎡
⎣
x
y
z
⎤
⎦
(5)