Exercices
215
C’est la matrice demandée. Celle-ci peut également s’écrire :
U
u,
´
2
=
1 0
0 1
+
´
2
−iu z
−(iu x + u y )
−iu x + u y
iu z
(3)
qui est la matrice infinitésimale de rotation.
2. Notons s x , s y , s z , les matrices de Pauli. La matrice U(u, ´/2) peut se mettre sous la
forme :
U
u,
´
2
= s 0 − i
´
2
(u x s x + u y s y + u z s z )
( 4 )
Le vecteur s ayant pour composantes s x , s y , s z , permet d’écrire (4) sous la forme :
U
u,
´
2
= s 0 − i
´
2
u·s
(5)
Exercice 9.2. Matrices de rotation dans l’espace des spineurs
Écrire les matrices de rotation dans l’espace des spineurs correspondant
aux rotations R respectivement autour des axes Ox, Oy et Oz, en utilisant
la matrice U(u, u/2) donnée par (9.2.8). En déduire les matrices infinitésimales correspondantes.
Solution.
La rotation autour de l’axe Ox d’un angle a nous donne pour composantes du vecteur u :
u x = 1, u y = u z = 0, d’où la matrice de rotation dans l’espace des spineurs :
U
i,
a
2
=
⎡
⎢
⎣
cos
a
2
−i sin
a
2
−i sin
a
2
cos
a
2
⎤
⎥
⎦
(1)
Pour une rotation d’un angle b autour de Oy, on a : u x = u z = 0, u y = 1. Pour une rotation
d’un angle g autour de Oz, on a : u x = u y = 0, u z = 1. On obtient les matrices :
U
j,
b
2
=
⎡
⎢
⎢
⎣
cos
b
2
− sin
b
2
sin
b
2
cos
b
2
⎤
⎥
⎥
⎦ ; U
k,
g
2
=
e
−ig/2
0
0
e
ig/2
(2)
Les matrices infinitésimales sont obtenues en dérivant les éléments matriciels par rapport à u,
pour u = 0, d’où :
A
(1/2)
x
=
−i
2
0 1
1 0
; A
(1/2)
y
=
−i
2
0 −i
i 0
; A
(1/2)
z
=
−i
2
1
0
0 −1
(3)
Au coefficient i près, on obtient les matrices infinitésimales de dimension deux du groupe
SO(3). Ces matrices sont proportionnelles aux matrices de Pauli. Les représentations irréductibles de dimension deux des groupes SU(2) et SO(3) sont identiques.
215
C’est la matrice demandée. Celle-ci peut également s’écrire :
U
u,
´
2
=
1 0
0 1
+
´
2
−iu z
−(iu x + u y )
−iu x + u y
iu z
(3)
qui est la matrice infinitésimale de rotation.
2. Notons s x , s y , s z , les matrices de Pauli. La matrice U(u, ´/2) peut se mettre sous la
forme :
U
u,
´
2
= s 0 − i
´
2
(u x s x + u y s y + u z s z )
( 4 )
Le vecteur s ayant pour composantes s x , s y , s z , permet d’écrire (4) sous la forme :
U
u,
´
2
= s 0 − i
´
2
u·s
(5)
Exercice 9.2. Matrices de rotation dans l’espace des spineurs
Écrire les matrices de rotation dans l’espace des spineurs correspondant
aux rotations R respectivement autour des axes Ox, Oy et Oz, en utilisant
la matrice U(u, u/2) donnée par (9.2.8). En déduire les matrices infinitésimales correspondantes.
Solution.
La rotation autour de l’axe Ox d’un angle a nous donne pour composantes du vecteur u :
u x = 1, u y = u z = 0, d’où la matrice de rotation dans l’espace des spineurs :
U
i,
a
2
=
⎡
⎢
⎣
cos
a
2
−i sin
a
2
−i sin
a
2
cos
a
2
⎤
⎥
⎦
(1)
Pour une rotation d’un angle b autour de Oy, on a : u x = u z = 0, u y = 1. Pour une rotation
d’un angle g autour de Oz, on a : u x = u y = 0, u z = 1. On obtient les matrices :
U
j,
b
2
=
⎡
⎢
⎢
⎣
cos
b
2
− sin
b
2
sin
b
2
cos
b
2
⎤
⎥
⎥
⎦ ; U
k,
g
2
=
e
−ig/2
0
0
e
ig/2
(2)
Les matrices infinitésimales sont obtenues en dérivant les éléments matriciels par rapport à u,
pour u = 0, d’où :
A
(1/2)
x
=
−i
2
0 1
1 0
; A
(1/2)
y
=
−i
2
0 −i
i 0
; A
(1/2)
z
=
−i
2
1
0
0 −1
(3)
Au coefficient i près, on obtient les matrices infinitésimales de dimension deux du groupe
SO(3). Ces matrices sont proportionnelles aux matrices de Pauli. Les représentations irréductibles de dimension deux des groupes SU(2) et SO(3) sont identiques.