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9 • Spineurs
représentation pour la représentation D
(1/2)
⊗ D
(1/2) du groupe SO(3) et celle-ci se
décompose, selon la formule de Clebsch-Gordan, sous la forme :
D
(1/2)
⊗ D
(1/2) = D
(1)
⊕ D
(0)
(9.4.6)
On obtient une représentation de dimension trois déterminée à partir des 1-spineurs
de composantes (z
2 , zh, h
2 ) et une représentation de dimension un obtenue à partir
du scalaire hz.
b) Spineurs d’ordre trois
Les spineurs d’ordre trois x⊗x⊗x forment un espace de représentation de dimension
huit donnant la représentation du groupe SO(3) :
D
(1/2)
⊗ D
(1/2)
⊗ D
(1/2) = D
(1/2)
⊗ (D
(1)
⊕ D
(0) ) = D
(3/2)
⊕ 2D
(1/2)
(9.4.7)
La décomposition donne une représentation formée à partir des 3/2-spineurs et deux
représentations formées à partir des spineurs d’ordre un.
c) Spineurs d’ordre quelconque
On peut former des spineurs d’ordre n en multipliant tensoriellement n fois des spineurs d’ordre un. Ces tenseurs d’ordre n peuvent servir à former une représentation
de SO(3) de dimension 2
n qu’on peut décomposer de proche en proche.
EXERCICES
Exercice 9.1. Matrice infinitésimale de représentation de SU(2)
Soit la matrice U(u, u/2) donnée par (9.2.8).
1. Déterminer la matrice U(u, ´/2) correspondant à une rotation infinitésimale d’un angle ´, autour de l’axe défini par u, dans l’espace physique,
au voisinage de la rotation nulle.
2. Écrire la matrice U(u, ´/2) en fonction des matrices de Pauli.
Solution.
1. Écrivons les fonctions cos(´/2) et sin(´/2) sous forme de leur développement limité :
cos(´/2) = 1 − (´/2)
2 /2 + · · · ; sin(´/2) = ´/2 − (´/2)
3 /6 + · · ·
(1)
En utilisant les seuls termes du premier ordre, la matrice de rotation dans l’espace des spineurs
s’écrit :
U
u,
´
2
=
1 − iu z ´/2
−(iu x + u y )´/2
(−iu x + u y )´/2
1+iu z ´/2
(2)