9.4 Représentation spinorielle de SO(3)
213
Au facteur −i près, on obtient la matrice infinitésimale J
(1)
z de la représentation D
(1)
du groupe SO(3), donnée par (6.2.31). On vérifie de façon analogue l’identité, à un
facteur près, entre les matrices A
(1)
x et A
(1)
y de SU(2) et celles respectives, J
(1)
x et J
(1)
y ,
de SO(3). Ainsi l’espace vectoriel des 1-spineurs forme un espace de représentation
irréductible du groupe SO(3).
9.4.3 Représentation de dimension quelconque
De manière générale, toutes les représentations irréductibles de SU(2) sont des représentations irréductibles de SO(3).
Pour généraliser les démonstrations que nous avons faites pour les représentations
de dimension deux et trois, il faut calculer l’expression générale des éléments matriciels des matrices U
( j) (u, u/2) à partir des composantes (9.3.13) des j-spineurs.
Par dérivation, on obtient les matrices infinitésimales du groupe SU(2) qui sont identiques à celles du groupe SO(3). Nous renvoyons à l’ouvrage de J. Hladik sur les
spineurs, cité précédemment, pour ces calculs.
Finalement, toutes les représentations irréductibles de SU(2) de dimension paire,
correspondant à des valeurs j demi-entières, sont des représentations de SO(3) purement spinorielles. Celles de dimension impaire, pour j entier, ont des représentations
vectorielles équivalentes.
9.4.4 Tenseurs formés à partir des spineurs
Les spineurs d’ordre un, considérés comme des vecteurs, permettent de former des
tenseurs ainsi qu’on le fait en algèbre tensorielle classique. On obtient alors des spineurs d’ordre supérieur ; ce sont des tenseurs particuliers.
Ainsi, un spineur d’ordre deux est une grandeur à quatre composantes c ij qui se
transforment lors d’un changement de base comme les produits z i h j des composantes
de deux spineurs d’ordre un. Si E
(1/2)
z
est l’espace vectoriel des spineurs (z 1 , z 2 ), et
E
(1/2)
h
celui des spineurs (h 1 , h 2 ), alors l’espace vectoriel engendré par les tenseurs
c ij = z i h j est l’espace produit tensoriel E
(1/2)
z
⊗ E
(1/2)
h
. C’est un espace vectoriel de
dimension quatre. Si c ij = c ji , le spineur est dit symétrique.
Un spineur d’ordre n, symétrique par rapport à tous ses indices, est appelé un
spineur symétrique. Nous allons étudier les spineurs d’ordre supérieur formés par
produit tensoriel de spineurs identiques d’ordre un. Les tenseurs qui en résultent sont
alors symétriques ; un spineur symétrique d’ordre n a un nombre de composantes
indépendantes égal à n + 1.
a) Spineurs d’ordre deux
Considérons un spineur x = (z, h). On peut former le spineur d’ordre deux
ayant pour composantes (z
2 , zh, hz, h
2 ) en effectuant le produit tensoriel x ⊗ x.
L’espace vectoriel formé par ces tenseurs d’ordre deux peut servir d’espace de
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Au facteur −i près, on obtient la matrice infinitésimale J
(1)
z de la représentation D
(1)
du groupe SO(3), donnée par (6.2.31). On vérifie de façon analogue l’identité, à un
facteur près, entre les matrices A
(1)
x et A
(1)
y de SU(2) et celles respectives, J
(1)
x et J
(1)
y ,
de SO(3). Ainsi l’espace vectoriel des 1-spineurs forme un espace de représentation
irréductible du groupe SO(3).
9.4.3 Représentation de dimension quelconque
De manière générale, toutes les représentations irréductibles de SU(2) sont des représentations irréductibles de SO(3).
Pour généraliser les démonstrations que nous avons faites pour les représentations
de dimension deux et trois, il faut calculer l’expression générale des éléments matriciels des matrices U
( j) (u, u/2) à partir des composantes (9.3.13) des j-spineurs.
Par dérivation, on obtient les matrices infinitésimales du groupe SU(2) qui sont identiques à celles du groupe SO(3). Nous renvoyons à l’ouvrage de J. Hladik sur les
spineurs, cité précédemment, pour ces calculs.
Finalement, toutes les représentations irréductibles de SU(2) de dimension paire,
correspondant à des valeurs j demi-entières, sont des représentations de SO(3) purement spinorielles. Celles de dimension impaire, pour j entier, ont des représentations
vectorielles équivalentes.
9.4.4 Tenseurs formés à partir des spineurs
Les spineurs d’ordre un, considérés comme des vecteurs, permettent de former des
tenseurs ainsi qu’on le fait en algèbre tensorielle classique. On obtient alors des spineurs d’ordre supérieur ; ce sont des tenseurs particuliers.
Ainsi, un spineur d’ordre deux est une grandeur à quatre composantes c ij qui se
transforment lors d’un changement de base comme les produits z i h j des composantes
de deux spineurs d’ordre un. Si E
(1/2)
z
est l’espace vectoriel des spineurs (z 1 , z 2 ), et
E
(1/2)
h
celui des spineurs (h 1 , h 2 ), alors l’espace vectoriel engendré par les tenseurs
c ij = z i h j est l’espace produit tensoriel E
(1/2)
z
⊗ E
(1/2)
h
. C’est un espace vectoriel de
dimension quatre. Si c ij = c ji , le spineur est dit symétrique.
Un spineur d’ordre n, symétrique par rapport à tous ses indices, est appelé un
spineur symétrique. Nous allons étudier les spineurs d’ordre supérieur formés par
produit tensoriel de spineurs identiques d’ordre un. Les tenseurs qui en résultent sont
alors symétriques ; un spineur symétrique d’ordre n a un nombre de composantes
indépendantes égal à n + 1.
a) Spineurs d’ordre deux
Considérons un spineur x = (z, h). On peut former le spineur d’ordre deux
ayant pour composantes (z
2 , zh, hz, h
2 ) en effectuant le produit tensoriel x ⊗ x.
L’espace vectoriel formé par ces tenseurs d’ordre deux peut servir d’espace de