212
9 • Spineurs
u y = u z = 0 ; on obtient :
U
(1/2)
i,
u
2
=
⎡
⎢
⎣
cos
u
2
−i sin
u
2
−i sin
u
2
cos
u
2
⎤
⎥
⎦
(9.4.1)
Calculons la dérivée de chaque élément matriciel, par rapport à u, pour u = 0 ; il
vient :
A
(1/2)
x
= −
i
2
0 1
1 0
(9.4.2)
On obtient, au coefficient i près, la matrice J
(1/2)
x
donnée par (6.2.28). On identifie
de même les matrices infinitésimales A
(1/2)
y
et A
(1/2)
z
du groupe SU(2) aux matrices
respectives J
(1/2)
y
et J
(1/2)
z
de SO(3).
Ainsi l’espace vectoriel des spineurs de rang un forme un espace de représentation
du groupe SO(3). Cette représentation est essentiellement spinorielle, c’est-à-dire
qu’il n’existe pas de représentation équivalente provenant d’un autre type d’espace
vectoriel que celui des spineurs.
9.4.2 Représentation de dimension trois
La représentation de dimension trois D
(1) du groupe SO(3) est par contre équivalente
à des représentations de différents types. Ainsi nous avons vu que les harmoniques
sphériques Y 1m (u, w) constituent une base de représentation de D
(1) .
Les 1-spineurs forment également une base de représentation de D
(1) . Pour le montrer, il suffit de faire le même type de calcul que celui effectué pour les spineurs de
rang un. Partons de la matrice d’ordre trois, donnée par (9.3.10), et remplaçons dans
cette matrice les paramètres a et b par leur expression en fonction de u donnée par
(9.2.9). Considérons une rotation particulière, par exemple autour de l’axe Oz, pour
laquelle on a : u x = u y = 0, u z = 1. Les paramètres a et b deviennent alors :
a = cos
u
2
− i sin
u
2
= e
−iu/2 ; b = 0
( 9 .4.3)
En remplaçant a et b dans la matrice (9.3.10), on obtient une matrice diagonale :
U
(1)
k,
u
2
=
⎡
⎢
⎣
e −iu 0 0
0 1 0
0 0 e
iu
⎤
⎥
⎦
(9.4.4)
Calculons la dérivée de chaque élément matriciel, par rapport à u, pour u = 0 ; il
vient :
A
(1)
z = i
⎡
⎢
⎣
−1 0 0
0 0 0
0 0 1
⎤
⎥
⎦
(9.4.5)
9 • Spineurs
u y = u z = 0 ; on obtient :
U
(1/2)
i,
u
2
=
⎡
⎢
⎣
cos
u
2
−i sin
u
2
−i sin
u
2
cos
u
2
⎤
⎥
⎦
(9.4.1)
Calculons la dérivée de chaque élément matriciel, par rapport à u, pour u = 0 ; il
vient :
A
(1/2)
x
= −
i
2
0 1
1 0
(9.4.2)
On obtient, au coefficient i près, la matrice J
(1/2)
x
donnée par (6.2.28). On identifie
de même les matrices infinitésimales A
(1/2)
y
et A
(1/2)
z
du groupe SU(2) aux matrices
respectives J
(1/2)
y
et J
(1/2)
z
de SO(3).
Ainsi l’espace vectoriel des spineurs de rang un forme un espace de représentation
du groupe SO(3). Cette représentation est essentiellement spinorielle, c’est-à-dire
qu’il n’existe pas de représentation équivalente provenant d’un autre type d’espace
vectoriel que celui des spineurs.
9.4.2 Représentation de dimension trois
La représentation de dimension trois D
(1) du groupe SO(3) est par contre équivalente
à des représentations de différents types. Ainsi nous avons vu que les harmoniques
sphériques Y 1m (u, w) constituent une base de représentation de D
(1) .
Les 1-spineurs forment également une base de représentation de D
(1) . Pour le montrer, il suffit de faire le même type de calcul que celui effectué pour les spineurs de
rang un. Partons de la matrice d’ordre trois, donnée par (9.3.10), et remplaçons dans
cette matrice les paramètres a et b par leur expression en fonction de u donnée par
(9.2.9). Considérons une rotation particulière, par exemple autour de l’axe Oz, pour
laquelle on a : u x = u y = 0, u z = 1. Les paramètres a et b deviennent alors :
a = cos
u
2
− i sin
u
2
= e
−iu/2 ; b = 0
( 9 .4.3)
En remplaçant a et b dans la matrice (9.3.10), on obtient une matrice diagonale :
U
(1)
k,
u
2
=
⎡
⎢
⎣
e −iu 0 0
0 1 0
0 0 e
iu
⎤
⎥
⎦
(9.4.4)
Calculons la dérivée de chaque élément matriciel, par rapport à u, pour u = 0 ; il
vient :
A
(1)
z = i
⎡
⎢
⎣
−1 0 0
0 0 0
0 0 1
⎤
⎥
⎦
(9.4.5)