9.4 Représentation spinorielle de SO(3)
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une transformation linéaire dont les matrices U
(n) (a, b) forment une représentation
irréductible de dimension (n + 1) de SU(2). Pour tenir compte des notations quantiques usuelles, on pose :
n = 2j ; k = j − m
(9.3.12)
Les composantes (9.3.11) prennent alors la forme symétrique :
q
( j)
m =
c
j+m f
j−m
√
( j + m)! ( j − m)!
(9.3.13)
avec j = 1/2, 1, 3/2, 2, ..., puisque n est un entier positif. Le nombre j est appelé le
poids de la représentation irréductible de dimension (2j+1) ; cette représentation sera
notée G
( j) . Les quantités (9.3.13) constituent les composantes d’un vecteur appelé un
j-spineur. Remarquons que les spineurs d’ordre un sont des 1/2-spineurs.
On démontre que les j-spineurs permettent de former toutes les représentations
irréductibles du groupe SU(2) lorsque j parcourt toutes les valeurs entières et demientières. Les j-spineurs sont également appelés des spineurs irréductibles.
9.4 REPRÉSENTATION SPINORIELLE DE SO(3)
Nous allons voir que les j-spineurs peuvent également être utilisés pour former des
bases de représentation du groupe SO(3) car les représentations irréductibles G
( j)
de SU(2) sont en fait des représentations irréductibles équivalentes aux représentations D
( j) du groupe SO(3) qui ont été déterminées sur la base canonique. Nous dirons qu’une représentation de SO(3) ayant pour base de représentation les j-spineurs
constitue une représentation spinorielle du groupe des rotations.
9.4.1 Représentation de dimension deux
Pour montrer que deux représentations sont identiques ou équivalentes, il suffit de
montrer que leurs matrices représentatives sont les mêmes, après un éventuel changement de base de l’espace de représentation pour des représentations équivalentes.
En fait, il suffit de faire ce travail sur les matrices infinitésimales puisque celles-ci
permettent de générer les matrices de la représentation.
➤ Matrices identiques d’ordre deux
Nous avons vu, au paragraphe 9.2.1 de ce chapitre, que les matrices d’ordre deux
de SU(2) forment une représentation binaire du groupe SO(3). Vérifions que les matrices infinitésimales d’ordre deux de SO(3), données par (6.2.28), sont identiques, à
un coefficient près, à celles du groupe SU(2).
Déterminons, par exemple, la matrice infinitésimale de SU(2) correspondant à une
rotation autour de l’axe Ox. Pour cela, utilisons la matrice (9.2.8) avec u x = 1,
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une transformation linéaire dont les matrices U
(n) (a, b) forment une représentation
irréductible de dimension (n + 1) de SU(2). Pour tenir compte des notations quantiques usuelles, on pose :
n = 2j ; k = j − m
(9.3.12)
Les composantes (9.3.11) prennent alors la forme symétrique :
q
( j)
m =
c
j+m f
j−m
√
( j + m)! ( j − m)!
(9.3.13)
avec j = 1/2, 1, 3/2, 2, ..., puisque n est un entier positif. Le nombre j est appelé le
poids de la représentation irréductible de dimension (2j+1) ; cette représentation sera
notée G
( j) . Les quantités (9.3.13) constituent les composantes d’un vecteur appelé un
j-spineur. Remarquons que les spineurs d’ordre un sont des 1/2-spineurs.
On démontre que les j-spineurs permettent de former toutes les représentations
irréductibles du groupe SU(2) lorsque j parcourt toutes les valeurs entières et demientières. Les j-spineurs sont également appelés des spineurs irréductibles.
9.4 REPRÉSENTATION SPINORIELLE DE SO(3)
Nous allons voir que les j-spineurs peuvent également être utilisés pour former des
bases de représentation du groupe SO(3) car les représentations irréductibles G
( j)
de SU(2) sont en fait des représentations irréductibles équivalentes aux représentations D
( j) du groupe SO(3) qui ont été déterminées sur la base canonique. Nous dirons qu’une représentation de SO(3) ayant pour base de représentation les j-spineurs
constitue une représentation spinorielle du groupe des rotations.
9.4.1 Représentation de dimension deux
Pour montrer que deux représentations sont identiques ou équivalentes, il suffit de
montrer que leurs matrices représentatives sont les mêmes, après un éventuel changement de base de l’espace de représentation pour des représentations équivalentes.
En fait, il suffit de faire ce travail sur les matrices infinitésimales puisque celles-ci
permettent de générer les matrices de la représentation.
➤ Matrices identiques d’ordre deux
Nous avons vu, au paragraphe 9.2.1 de ce chapitre, que les matrices d’ordre deux
de SU(2) forment une représentation binaire du groupe SO(3). Vérifions que les matrices infinitésimales d’ordre deux de SO(3), données par (6.2.28), sont identiques, à
un coefficient près, à celles du groupe SU(2).
Déterminons, par exemple, la matrice infinitésimale de SU(2) correspondant à une
rotation autour de l’axe Ox. Pour cela, utilisons la matrice (9.2.8) avec u x = 1,