210
9 • Spineurs
Ces monômes peuvent être considérés comme les composantes d’un vecteur
x = (z 0 , z 1 , z 2 ). Les coefficients 1/
√
2 sont introduits de façon à obtenir une
expression semblable à celle du produit scalaire h, h pour un spineur h = (c, f) ;
on a en effet :
x, x =
1
2
(cc
∗ )
2 + cf(cf)
∗ +
1
2
(ff
∗ )
2 =
1
2
(cc
∗ + ff
∗ )
2
(9.3.8)
Les vecteurs x peuvent constituer un espace vectoriel de dimension trois et servir
d’espace de représentation pour le groupe SU(2). Faisons subir au spineur (c, f) la
transformation U et déterminons la transformation qui en résulte pour les monômes
(9.3.7). Il vient :
z
0 =
1
√
2
(ac + bf)
2 = a
2 z 0 +
√
2abz 1 + b
2 z 2
z
1 = (ac + bf)(−b
∗ c + a
∗ f) = −
√
2ab
∗ z 0 + (aa
∗
− bb
∗ )z 1 +
√
2a
∗ bz 2
z
2 =
1
√
2
(−b
∗ c + a
∗ f)
2 = b
∗2 z 0 −
√
2a
∗ b
∗ z 1 + a
∗2 z 2
(9.3.9)
Par suite de la construction même des monômes (9.3.7), les transformations subies
par z 0 , z 1 , z 2 redonnent des combinaisons linéaires de ces mêmes composantes. La
matrice de cette transformation s’écrit :
U
(1) (a, b) =
⎡
⎢
⎣
a
2
√
2ab
b
2
−
√
2ab* (aa ∗ − bb ∗ )
√
2a ∗ b
b ∗2
−
√
2a ∗ b ∗
a ∗2
⎤
⎥
⎦
(9.3.10)
Compte tenu des expressions (9.2.9) de a et b, la matrice U
(1) (a, b) peut être exprimée en fonction des paramètres u et u de la rotation dans l’espace tridimensionnel.
Les vecteurs x = (z 0 , z 1 , z 2 ) qui, lors d’une rotation dans l’espace géométrique,
se transforment selon la matrice (9.3.10) sont appelés des 1-spineurs. Les matrices
(9.3.10) constituent une représentation matricielle irréductible de dimension trois du
groupe SU(2).
b) Représentation de dimension quelconque
On peut former des représentations de dimension quelconque en considérant les
(n + 1) monômes suivants de degré n :
1
√
n!
c
n ; ... ;
1
√
(n − k)!k!
c
n−k f
k ; ... ;
1
√
n!
f
n
(9.3.11)
comme les composantes d’un vecteur appartenant à un espace vectoriel de dimension
(n + 1) qui peut servir d’espace de représentation de SU(2). Faisant subir à c et f une
transformation U donnée par (9.1.1), les (n+1) monômes (9.3.11) subissent entre eux
9 • Spineurs
Ces monômes peuvent être considérés comme les composantes d’un vecteur
x = (z 0 , z 1 , z 2 ). Les coefficients 1/
√
2 sont introduits de façon à obtenir une
expression semblable à celle du produit scalaire h, h pour un spineur h = (c, f) ;
on a en effet :
x, x =
1
2
(cc
∗ )
2 + cf(cf)
∗ +
1
2
(ff
∗ )
2 =
1
2
(cc
∗ + ff
∗ )
2
(9.3.8)
Les vecteurs x peuvent constituer un espace vectoriel de dimension trois et servir
d’espace de représentation pour le groupe SU(2). Faisons subir au spineur (c, f) la
transformation U et déterminons la transformation qui en résulte pour les monômes
(9.3.7). Il vient :
z
0 =
1
√
2
(ac + bf)
2 = a
2 z 0 +
√
2abz 1 + b
2 z 2
z
1 = (ac + bf)(−b
∗ c + a
∗ f) = −
√
2ab
∗ z 0 + (aa
∗
− bb
∗ )z 1 +
√
2a
∗ bz 2
z
2 =
1
√
2
(−b
∗ c + a
∗ f)
2 = b
∗2 z 0 −
√
2a
∗ b
∗ z 1 + a
∗2 z 2
(9.3.9)
Par suite de la construction même des monômes (9.3.7), les transformations subies
par z 0 , z 1 , z 2 redonnent des combinaisons linéaires de ces mêmes composantes. La
matrice de cette transformation s’écrit :
U
(1) (a, b) =
⎡
⎢
⎣
a
2
√
2ab
b
2
−
√
2ab* (aa ∗ − bb ∗ )
√
2a ∗ b
b ∗2
−
√
2a ∗ b ∗
a ∗2
⎤
⎥
⎦
(9.3.10)
Compte tenu des expressions (9.2.9) de a et b, la matrice U
(1) (a, b) peut être exprimée en fonction des paramètres u et u de la rotation dans l’espace tridimensionnel.
Les vecteurs x = (z 0 , z 1 , z 2 ) qui, lors d’une rotation dans l’espace géométrique,
se transforment selon la matrice (9.3.10) sont appelés des 1-spineurs. Les matrices
(9.3.10) constituent une représentation matricielle irréductible de dimension trois du
groupe SU(2).
b) Représentation de dimension quelconque
On peut former des représentations de dimension quelconque en considérant les
(n + 1) monômes suivants de degré n :
1
√
n!
c
n ; ... ;
1
√
(n − k)!k!
c
n−k f
k ; ... ;
1
√
n!
f
n
(9.3.11)
comme les composantes d’un vecteur appartenant à un espace vectoriel de dimension
(n + 1) qui peut servir d’espace de représentation de SU(2). Faisant subir à c et f une
transformation U donnée par (9.1.1), les (n+1) monômes (9.3.11) subissent entre eux