9.3 Les spineurs de l’espace tridimensionnel
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La transformée de la somme de deux spineurs est égale à la somme des spineurs
transformés.
La multiplication d’un spineur (c, f) par un nombre complexe l lui fait correspondre le spineur (lc, lf).
9.3.2 Espace vectoriel des spineurs d’ordre un
Muni des lois internes d’addition et de multiplication par les nombres complexes,
l’ensemble des spineurs d’ordre un forme un espace vectoriel sur le corps des complexes. Notons E
(1/2) cet espace vectoriel.
a) Base canonique
Une base de l’espace vectoriel des spineurs d’ordre un peut être formée par les
couples suivants :
h = (1, 0) ; z = (0, 1)
(9.3.3)
Ces deux spineurs sont linéairement indépendants et constituent la base canonique
de l’espace vectoriel des spineurs. Tout spineur (c, f) s’écrit sur cette base :
(c, f) = c(1, 0) + f(0, 1)
(9.3.4)
b) Espace vectoriel hermitien
L’espace vectoriel des spineurs peut être muni d’un produit scalaire classique. Soient
deux spineurs h = (c, f) et z = (c
, f
) ; leur produit scalaire est défini par :
h, z = c
∗ c
+ f
∗ f
(9.3.5)
Ce produit est défini positif car si h est différent du spineur nul, alors au moins c ou
f est différent de zéro et par suite : h, h = cc
∗ + ff
∗ > 0. L’espace vectoriel
E
(1/2) muni du produit scalaire (9.3.5) est un espace vectoriel hermitien.
La norme d’un spineur h est le nombre, noté h, tel que :
h =
h, h =
cc ∗ + ff ∗
(9.3.6)
9.3.3 Représentations de SU(2)
L’espace vectoriel des spineurs à deux composantes constitue un espace de représentation à deux dimensions du groupe SU(2). On peut former des représentations de
plus grande dimension en utilisant des monômes de degré quelconque à partir des
composantes c, f d’un spineur.
a) Représentation de dimension trois
Soient les monômes suivants :
z 0 =
1
√
2
c
2 ; z 1 = cf ; z 2 =
1
√
2
f
2
(9.3.7)