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9 • Spineurs
Son déterminant est égal à l’unité et la matrice est unitaire. Les matrices (9.2.8) représentent donc le groupe SU(2) et sont, par conséquent, une représentation binaire,
de dimension deux, du groupe SO(3).
9.3 LES SPINEURS DE L’ESPACE TRIDIMENSIONNEL
9.3.1 Spineurs d’ordre un
On a vu qu’à tout couple (c, f) on peut lier un système de coordonnées (x, y, z)
et montrer que les rotations dans l’espace tridimensionnel correspondent à des transformations du groupe SU(2). On va définir les spineurs par cette propriété de transformation lors d’une rotation dans l’espace géométrique.
a) Définition
On appelle spineur d’ordre un (ou de rang un) de l’espace tridimensionnel tout
couple (c, f) de nombres complexes qui, lors d’une rotation des coordonnées d’un
angle u autour d’un axe portant le vecteur u, dans l’espace à trois dimensions, est
transformé en un couple (c
, f
) par la matrice U(u, u/2) donnée par (9.2.8).
On dira que la transformation du spineur (c, f) en un spineur (c
, f
) est une rotation dans l’espace des spineurs. Cette rotation est définie par la matrice U(u, u/2).
Cette dernière étant unitaire, on a : U
−1 = U
† . On obtient également la matrice
U
−1 en changeant u/2 en −u/2 dans l’expression (9.2.8), ce qui correspond à une
propriété classique de rotation.
b) Rotation d’un angle 2p
Considérons une rotation d’un angle 2p autour de l’axe Oz portant le vecteur unitaire
k. La matrice (9.2.8) devient alors :
U(k, p) =
−1
0
0 −1
(9.3.1)
Un spineur (c, f) est transformé, dans ce cas, en un spineur (−c, −f). Ainsi, à une
rotation d’un angle 2p dans l’espace géométrique correspond une transformation
d’un spineur en son opposé. C’est une rotation de 4p dans l’espace tridimensionnel
qui correspond à la matrice identité dans l’espace des spineurs.
c) Opérations sur les spineurs
À deux spineurs (c 1 , f 1 ) et (c 2 , f 2 ), l’addition fait correspondre le couple
(c 3 , f 3 ) = (c 1 + c 2 , f 1 + f 2 ). L’addition de deux spineurs redonne un spineur par
suite de la linéarité de la transformation U ; on a en effet :
U(c 1 + c 2 , f 1 + f 2 ) = U(c 1 , f 1 ) + U(c 2 , f 2 )
( 9 .3.2)
9 • Spineurs
Son déterminant est égal à l’unité et la matrice est unitaire. Les matrices (9.2.8) représentent donc le groupe SU(2) et sont, par conséquent, une représentation binaire,
de dimension deux, du groupe SO(3).
9.3 LES SPINEURS DE L’ESPACE TRIDIMENSIONNEL
9.3.1 Spineurs d’ordre un
On a vu qu’à tout couple (c, f) on peut lier un système de coordonnées (x, y, z)
et montrer que les rotations dans l’espace tridimensionnel correspondent à des transformations du groupe SU(2). On va définir les spineurs par cette propriété de transformation lors d’une rotation dans l’espace géométrique.
a) Définition
On appelle spineur d’ordre un (ou de rang un) de l’espace tridimensionnel tout
couple (c, f) de nombres complexes qui, lors d’une rotation des coordonnées d’un
angle u autour d’un axe portant le vecteur u, dans l’espace à trois dimensions, est
transformé en un couple (c
, f
) par la matrice U(u, u/2) donnée par (9.2.8).
On dira que la transformation du spineur (c, f) en un spineur (c
, f
) est une rotation dans l’espace des spineurs. Cette rotation est définie par la matrice U(u, u/2).
Cette dernière étant unitaire, on a : U
−1 = U
† . On obtient également la matrice
U
−1 en changeant u/2 en −u/2 dans l’expression (9.2.8), ce qui correspond à une
propriété classique de rotation.
b) Rotation d’un angle 2p
Considérons une rotation d’un angle 2p autour de l’axe Oz portant le vecteur unitaire
k. La matrice (9.2.8) devient alors :
U(k, p) =
−1
0
0 −1
(9.3.1)
Un spineur (c, f) est transformé, dans ce cas, en un spineur (−c, −f). Ainsi, à une
rotation d’un angle 2p dans l’espace géométrique correspond une transformation
d’un spineur en son opposé. C’est une rotation de 4p dans l’espace tridimensionnel
qui correspond à la matrice identité dans l’espace des spineurs.
c) Opérations sur les spineurs
À deux spineurs (c 1 , f 1 ) et (c 2 , f 2 ), l’addition fait correspondre le couple
(c 3 , f 3 ) = (c 1 + c 2 , f 1 + f 2 ). L’addition de deux spineurs redonne un spineur par
suite de la linéarité de la transformation U ; on a en effet :
U(c 1 + c 2 , f 1 + f 2 ) = U(c 1 , f 1 ) + U(c 2 , f 2 )
( 9 .3.2)