9.3 Matrices de rotation
207
Une méthode plus rapide, mais sans doute moins intuitive, consiste à utiliser
l’expression de la matrice de rotation correspondant à l’opérateur R u (u) donné par
(6.2.33). On utilise dans cette expression, les matrices infinitésimales J
(1/2)
x
, J
(1/2)
y
,
J
(1/2)
z
correspondant à une représentation de dimension deux. Tenant compte également des formules (6.2.30) reliant les matrices de Pauli s 1 , s 2 , s 3 , et les matrices
infinitésimales de rotation, l’expression (6.2.33) donne :
R u (u) = exp
−
iu
2
(u x s 1 + u y s 2 + u z s 3 )
(9.2.1)
Ces matrices, pour des valeurs u quelconques, constituent une représentation à deux
dimensions du groupe SO(3). Nous allons voir que ce sont aussi des matrices représentant le groupe SU(2), c’est-à-dire de la forme (9.1.10). Notons s le vecteur ayant
pour composantes les matrices de Pauli :
s = (s 1 , s 2 , s 3 )
( 9 .2.2)
La matrice R u (u) s’écrit sous forme de développement en série :
exp
−
iu
2
u·s
= s 0 −i
u
2
u·s−
u
2
2 (u·s)
2
2!
+i
u
2
3 (u·s)
3
3!
+· · · (9.2.3)
où s 0 est la matrice unité d’ordre deux. Puisque u est un vecteur unitaire, on obtient,
compte tenu des propriétés des matrices de Pauli :
(u·s)
2 = s 0
(9.2.5)
d’où :
(u·s)
2p = s 0 ; (u·s)
2p+1 = u·s
(9.2.6)
où p est un entier positif. Si on regroupe les termes de (9.2.3) selon la parité de
leur puissance, on obtient une somme de deux séries : les termes pairs représentent
le développement de cos(u/2) multiplié par s 0 ; les termes impairs sont ceux du
développement de sin(u/2) multiplié par (u·s). On a donc l’expression :
exp
−
iu
2
u·s
= s 0 cos
u
2
− i(u·s) sin
u
2
(9.2.7)
Écrivons cette dernière matrice en utilisant la forme explicite des matrices s j ,
j = 0, 1, 2, 3. Cette matrice dépend de u/2 et nous l’écrirons sous la forme d’une
matrice du groupe SU(2) :
U(u,
u
2
) =
⎡
⎢
⎣
cos
u
2
− iu z sin
u
2
−(iu x + u y ) sin
u
2
(−iu x + u y ) sin
u
2
cos
u
2
+ iu z sin
u
2
⎤
⎥
⎦
(9.2.8)
C’est en effet une matrice qui vérifie la forme générale (9.1.10) avec :
a = cos
u
2
− iu z sin
u
2
; b = −(iu x + u y ) sin
u
2
(9.2.9)
207
Une méthode plus rapide, mais sans doute moins intuitive, consiste à utiliser
l’expression de la matrice de rotation correspondant à l’opérateur R u (u) donné par
(6.2.33). On utilise dans cette expression, les matrices infinitésimales J
(1/2)
x
, J
(1/2)
y
,
J
(1/2)
z
correspondant à une représentation de dimension deux. Tenant compte également des formules (6.2.30) reliant les matrices de Pauli s 1 , s 2 , s 3 , et les matrices
infinitésimales de rotation, l’expression (6.2.33) donne :
R u (u) = exp
−
iu
2
(u x s 1 + u y s 2 + u z s 3 )
(9.2.1)
Ces matrices, pour des valeurs u quelconques, constituent une représentation à deux
dimensions du groupe SO(3). Nous allons voir que ce sont aussi des matrices représentant le groupe SU(2), c’est-à-dire de la forme (9.1.10). Notons s le vecteur ayant
pour composantes les matrices de Pauli :
s = (s 1 , s 2 , s 3 )
( 9 .2.2)
La matrice R u (u) s’écrit sous forme de développement en série :
exp
−
iu
2
u·s
= s 0 −i
u
2
u·s−
u
2
2 (u·s)
2
2!
+i
u
2
3 (u·s)
3
3!
+· · · (9.2.3)
où s 0 est la matrice unité d’ordre deux. Puisque u est un vecteur unitaire, on obtient,
compte tenu des propriétés des matrices de Pauli :
(u·s)
2 = s 0
(9.2.5)
d’où :
(u·s)
2p = s 0 ; (u·s)
2p+1 = u·s
(9.2.6)
où p est un entier positif. Si on regroupe les termes de (9.2.3) selon la parité de
leur puissance, on obtient une somme de deux séries : les termes pairs représentent
le développement de cos(u/2) multiplié par s 0 ; les termes impairs sont ceux du
développement de sin(u/2) multiplié par (u·s). On a donc l’expression :
exp
−
iu
2
u·s
= s 0 cos
u
2
− i(u·s) sin
u
2
(9.2.7)
Écrivons cette dernière matrice en utilisant la forme explicite des matrices s j ,
j = 0, 1, 2, 3. Cette matrice dépend de u/2 et nous l’écrirons sous la forme d’une
matrice du groupe SU(2) :
U(u,
u
2
) =
⎡
⎢
⎣
cos
u
2
− iu z sin
u
2
−(iu x + u y ) sin
u
2
(−iu x + u y ) sin
u
2
cos
u
2
+ iu z sin
u
2
⎤
⎥
⎦
(9.2.8)
C’est en effet une matrice qui vérifie la forme générale (9.1.10) avec :
a = cos
u
2
− iu z sin
u
2
; b = −(iu x + u y ) sin
u
2
(9.2.9)