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9 • Spineurs
Les coordonnées x
, y
, z
définissent un point M
qui est donc également situé
sur la sphère de rayon unité centrée sur l’origine. Le passage du point M(x, y, z) au
point M
(x
, y
, z
) est donc une rotation autour d’un axe passant par le centre O de la
sphère et perpendiculaire au plan défini par les points O, M et M
. Le raisonnement
précédent se généralise aisément à des couples de nombres complexes tels que :
cc
∗ + ff
∗ = r, où r est une constante.
c) Homomorphisme des groupes SU(2) et SO(3)
Ainsi à toute transformation unitaire unimodulaire U correspond une rotation R dans
l’espace tridimensionnel.
La réciproque n’est pas exactement vraie. Si l’on change les signes de a et b, en
−a et −b, on obtient la transformation notée −U. Cette dernière appliquée à c et
f change les signes de c
et f
donnés par la transformation U (9.1.9). Cependant,
selon les relations (9.1.16), on voit que x
, y
, z
restent invariables lorsque c
et f
changent de signe. Par conséquent à toute rotation R du groupe SO(3) correspondent
deux transformations du groupe SU(2) : U et −U.
Comme les transformations de SU(2) sont linéaires, au produit U 2 U 1 de deux
transformations correspond le produit R 2 R 1 de deux rotations successives ; les
groupes SU(2) et SO(3) sont des groupes homomorphes.
9.2 MATRICES DE ROTATION
9.2.1 Représentation binaire du groupe SO(3)
À chaque matrice (9.1.10) du groupe SU(2) peut être associée une rotation R de
SO(3). Au produit de deux matrices U 2 U 1 correspond le produit R 2 R 1 de deux rotations successives.
Les matrices du groupe SU(2) forment donc une représentation matricielle à deux
dimensions du groupe SO(3). C’est une représentation un peu particulière puisqu’à
tout élément R de SO(3) correspondent deux matrices U et −U de SU(2) ; on dit que
ces matrices forment une représentation binaire du groupe SO(3).
9.2.2 Matrices de rotation
Déterminons explicitement les matrices U de SU(2) correspondant à une rotation
donnée, en fonction de l’angle u de rotation et du vecteur u porté par l’axe de rotation.
Un calcul géométrique direct
¾ peut être réalisé à partir des coordonnées x, y, z,
exprimées, suivant la relation (9.1.13), en fonction des nombres complexes c et f,
mais les calculs sont assez longs.
2. J. HLADIK. Les spineurs en physique. Masson (1996).
9 • Spineurs
Les coordonnées x
, y
, z
définissent un point M
qui est donc également situé
sur la sphère de rayon unité centrée sur l’origine. Le passage du point M(x, y, z) au
point M
(x
, y
, z
) est donc une rotation autour d’un axe passant par le centre O de la
sphère et perpendiculaire au plan défini par les points O, M et M
. Le raisonnement
précédent se généralise aisément à des couples de nombres complexes tels que :
cc
∗ + ff
∗ = r, où r est une constante.
c) Homomorphisme des groupes SU(2) et SO(3)
Ainsi à toute transformation unitaire unimodulaire U correspond une rotation R dans
l’espace tridimensionnel.
La réciproque n’est pas exactement vraie. Si l’on change les signes de a et b, en
−a et −b, on obtient la transformation notée −U. Cette dernière appliquée à c et
f change les signes de c
et f
donnés par la transformation U (9.1.9). Cependant,
selon les relations (9.1.16), on voit que x
, y
, z
restent invariables lorsque c
et f
changent de signe. Par conséquent à toute rotation R du groupe SO(3) correspondent
deux transformations du groupe SU(2) : U et −U.
Comme les transformations de SU(2) sont linéaires, au produit U 2 U 1 de deux
transformations correspond le produit R 2 R 1 de deux rotations successives ; les
groupes SU(2) et SO(3) sont des groupes homomorphes.
9.2 MATRICES DE ROTATION
9.2.1 Représentation binaire du groupe SO(3)
À chaque matrice (9.1.10) du groupe SU(2) peut être associée une rotation R de
SO(3). Au produit de deux matrices U 2 U 1 correspond le produit R 2 R 1 de deux rotations successives.
Les matrices du groupe SU(2) forment donc une représentation matricielle à deux
dimensions du groupe SO(3). C’est une représentation un peu particulière puisqu’à
tout élément R de SO(3) correspondent deux matrices U et −U de SU(2) ; on dit que
ces matrices forment une représentation binaire du groupe SO(3).
9.2.2 Matrices de rotation
Déterminons explicitement les matrices U de SU(2) correspondant à une rotation
donnée, en fonction de l’angle u de rotation et du vecteur u porté par l’axe de rotation.
Un calcul géométrique direct
¾ peut être réalisé à partir des coordonnées x, y, z,
exprimées, suivant la relation (9.1.13), en fonction des nombres complexes c et f,
mais les calculs sont assez longs.
2. J. HLADIK. Les spineurs en physique. Masson (1996).