9.1 Groupe SU(2)
205
9.1.2 Rotation dans l’espace tridimensionnel
Nous allons démontrer qu’à toute transformation U du groupe SU(2) peut être associée une rotation R dans l’espace à trois dimensions.
a) Sphère de rayon unité
Pour cela, donnons-nous un couple de nombres complexes (c, f) tels que :
cc
∗ + ff
∗ = 1
( 9 .1.11)
Cherchons à associer aux nombres complexes c et f trois nombres réels x, y, z
représentant les coordonnées d’un point M(x, y, z) situé sur une sphère de rayon
unité. Pour cela, il suffit de déterminer x, y, z en fonction de c et f, de telle sorte que
les coordonnées x, y, z vérifient la relation :
x
2 + y
2 + z
2 = 1
( 9 .1.12)
Un tel problème peut être résolu en partant d’une démonstration géométrique
½ . Vérifions simplement qu’une solution possible à ce problème est donnée par :
x = cf
∗ + c
∗ f ; y = i(cf
∗
− c
∗ f) ; z = cc
∗
− ff
∗
(9.1.13)
Un calcul simple montre que les nombres x, y, z sont réels si c et f sont complexes
et qu’on a, compte tenu de (9.1.11) :
x
2 + y
2 + z
2 = (cc
∗ + ff
∗ )
2 = 1
( 9 .1.14)
Ainsi, à tout couple de nombres complexes (c, f) vérifiant (9.1.11), on peut associer
un point M(x, y, z) sur une sphère, centrée à l’origine, de rayon unité.
b) Rotation sur la sphère de rayon unité
La transformation (9.1.9) fait correspondre au couple (c, f) des valeurs c
= ac+bf
et f
= −b
∗ c+a
∗ f. Puisque la transformation U est unitaire, elle conserve le produit
scalaire et l’on a :
c
c
∗ + f
f
∗ = 1
( 9 .1.15)
ce qu’on peut vérifier directement à partir des expressions de c
et f
données en
fonction de c et f. Soient alors les nombres x
, y
, z
définis par :
x
= c
f
∗ + c
∗ f
; y
= i(c
f
∗
− c
∗ f
)
z
= c
c
∗
− f
f
∗
(9.1.16)
Puisque ces expressions ont la même forme que celles données par (9.1.13) et que
c
, f vérifient (9.1.15), on a :
x
2 + y
2 + z
2 = (c
c
∗ + f
f
∗ )
2 = 1
( 9 .1.17)
1. J. HLADIK. Les spineurs en physique. Masson (1996).
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9.1.2 Rotation dans l’espace tridimensionnel
Nous allons démontrer qu’à toute transformation U du groupe SU(2) peut être associée une rotation R dans l’espace à trois dimensions.
a) Sphère de rayon unité
Pour cela, donnons-nous un couple de nombres complexes (c, f) tels que :
cc
∗ + ff
∗ = 1
( 9 .1.11)
Cherchons à associer aux nombres complexes c et f trois nombres réels x, y, z
représentant les coordonnées d’un point M(x, y, z) situé sur une sphère de rayon
unité. Pour cela, il suffit de déterminer x, y, z en fonction de c et f, de telle sorte que
les coordonnées x, y, z vérifient la relation :
x
2 + y
2 + z
2 = 1
( 9 .1.12)
Un tel problème peut être résolu en partant d’une démonstration géométrique
½ . Vérifions simplement qu’une solution possible à ce problème est donnée par :
x = cf
∗ + c
∗ f ; y = i(cf
∗
− c
∗ f) ; z = cc
∗
− ff
∗
(9.1.13)
Un calcul simple montre que les nombres x, y, z sont réels si c et f sont complexes
et qu’on a, compte tenu de (9.1.11) :
x
2 + y
2 + z
2 = (cc
∗ + ff
∗ )
2 = 1
( 9 .1.14)
Ainsi, à tout couple de nombres complexes (c, f) vérifiant (9.1.11), on peut associer
un point M(x, y, z) sur une sphère, centrée à l’origine, de rayon unité.
b) Rotation sur la sphère de rayon unité
La transformation (9.1.9) fait correspondre au couple (c, f) des valeurs c
= ac+bf
et f
= −b
∗ c+a
∗ f. Puisque la transformation U est unitaire, elle conserve le produit
scalaire et l’on a :
c
c
∗ + f
f
∗ = 1
( 9 .1.15)
ce qu’on peut vérifier directement à partir des expressions de c
et f
données en
fonction de c et f. Soient alors les nombres x
, y
, z
définis par :
x
= c
f
∗ + c
∗ f
; y
= i(c
f
∗
− c
∗ f
)
z
= c
c
∗
− f
f
∗
(9.1.16)
Puisque ces expressions ont la même forme que celles données par (9.1.13) et que
c
, f vérifient (9.1.15), on a :
x
2 + y
2 + z
2 = (c
c
∗ + f
f
∗ )
2 = 1
( 9 .1.17)
1. J. HLADIK. Les spineurs en physique. Masson (1996).