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9 • Spineurs
c’est-à-dire :
|a|
2 + |b|
2 = 1 ; |c|
2 + |d|
2 = 1 ; d = −
ca ∗
b ∗
(9.1.4)
De ces trois relations, on déduit : |c| = |b| et |d| = |a|. On a donc seulement quatre
paramètres réels indépendants lorsque les matrices sont unitaires. On peut le voir
aisément en écrivant ces paramètres sous la forme suivante permettant de vérifier les
relations (9.1.4) :
a = e
iu cos l ; b = e
iv sin l ; c = −e
iw sin l
(9.1.5)
Les transformations G u ayant pour représentation les matrices unitaires :
G u =
e
iu cos l
e
iv sin l
−e
iw sin l e
i(w+v−u) cos l
(9.1.6)
sont des transformations unitaires qui forment le groupe unitaire noté U(2). Le déterminant de la matrice G u est donné par :
D = e
i(v+w)
(9.1.7)
d’où : |D| = 1.
b) Groupe SU(2)
Si l’on impose la condition supplémentaire :
D = 1
( 9 .1.8)
on a : v = −w, à 2kp près, et l’on obtient un sous-groupe de U(2). En effet, si G u
et G
u sont deux transformations unitaires du groupe U(2) telles que D(G u ) = 1 et
D(G
u ) = 1, alors D(G u G
u ) = D(G u )D(G
u ) = 1.
Lorsque v = −w, les paramètres (9.1.5) sont tels que : b = −c
∗ , d = a
∗ et les
transformations (9.1.1) deviennent :
c
= ac + bf ; f
= −b
∗ c + a
∗ f
(9.1.9)
avec aa
∗ + bb
∗ = 1. Ces transformations sont appelées des transformations unitaires
unimodulaires et seront notées U ; leur ensemble forme un sous-groupe de U(2) appelé le groupe unitaire unimodulaire, noté SU(2). Ce groupe ne dépend plus que
de trois paramètres réels : u, v, l. C’est également le cas du groupe des rotations
spatiales tridimensionnelles SO(3) et nous verrons que ces deux groupes sont homomorphes.
Pour l’espace de représentation E 2 , on a la représentation matricielle de SU(2)
donnée par les matrices :
U =
a
b
−b ∗ a ∗
(9.1.10)