Chapitre 9
Spineurs
9.1 GROUPE SU(2)
9.1.1 Définition du groupe SU(2)
a) Groupe unitaire U(2)
Considérons la transformation linéaire G qui, au couple de variables complexes
(c, f), fait correspondre le couple (c
, f
) tel que :
c
= ac + bf ; f
= cc + df
(9.1.1)
où les paramètres a, b, c, d sont également des nombres complexes. Si ces paramètres sont continus et si le déterminant du système (9.1.1) est différent de zéro, ces
transformations constituent le groupe linéaire GL(2).
Les couples (c, f) peuvent être considérés comme formant des éléments d’un
espace vectoriel E 2 qui peut servir d’espace de représentation pour le groupe GL(2).
Prenons pour base de E 2 la base canonique e 1 = (1, 0) et e 2 = (0, 1). Les matrices
G de la représentation matricielle du groupe GL(2) s’écrivent, pour cette base de
représentation :
G =
a b
c d
(9.1.2)
Pour que les matrices G soient unitaires, on doit avoir G
† G = GG
† = 1 1, soit :
a b
c d
a ∗ c ∗
b ∗ d ∗
=
1 0
0 1
(9.1.3)