Exercices
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Exercice 9.5. Matrices de Pauli formant une base des matrices
d’ordre deux
1. Montrer que les produits des matrices de Pauli s’écrivent sous la forme :
s i s j = i
3
k=1
´ ijk s k + d ij s 0
(1)
pour i, j = 1, 2, 3 ; ´ ijk est le symbole d’antisymétrie et s 0 la matrice
unité.
2. Démontrer que les matrices de Pauli et la matrice unité s 0 forment une
base de l’espace vectoriel des matrices d’ordre deux.
3. Décomposer une matrice quelconque d’ordre deux sur cette base.
Solution.
1. Le calcul direct des produits des matrices de Pauli donne, pour i = j :
s
2
i = s 0
(2)
On a, par exemple :
s
2
2 =
0 −i
i 0
0 −i
i 0
=
1 0
0 1
(3)
On a, d’autre part, pour i = j :
s 1 s 2 = is 3 ; s 2 s 3 = is 1 ; s 3 s 1 = is 2
(4)
Les relations (2) et (4) vérifient bien l’expression générale (1).
2. Les matrices de Pauli et la matrice unité seront linéairement indépendantes si elles vérifient
la relation :
l 0 s 0 + l 1 s 1 + l 2 s 2 + l 3 s 3 = 0
( 5 )
avec pour seule solution : l 0 = l 1 = l 2 = l 3 = 0. Écrivant explicitement les matrices de
Pauli dans la relation (5), il vient :
l 0 + l 3 = 0
;
l 1 − il 2 = 0
l 1 + il 2 = 0
;
l 0 − l 3 = 0
(6)
Ces équations ne peuvent être satisfaites que pour la solution :
l 0 = l 1 = l 2 = l 3 = 0
( 7 )
Par suite, les matrices s 0 , s 1 , s 2 , s 3 sont linéairement indépendantes et peuvent engendrer
l’espace vectoriel des matrices d’ordre deux. Elles constituent donc une base de cet espace.
3. Toute matrice d’ordre deux : A =
a b
c d
peut s’écrire sous la forme suivante :
A = as 0 + bs 1 + gs 2 + ds 3
(8)
avec : a = (a + d)/2, b = (b + c)/2, g = i(b − c)/2, d = (a − d)/2.