Exercices
201
Solution.
1. La valeur moyenne de l’hamiltonien H est donnée par :
H =
w| H |w
w|w
(2)
Avec la fonction d’essai w a (x), on a :
w a |w a =
∞
−∞
e
−2ax
2
dx ; w a | H |w a =
∞
−∞
e
−ax
2
−
2
2m
D +
1
2
mv
2 x
2
e
−ax
2
dx
Le calcul des intégrales nous donne :
H(a) =
2 a
2m
+
mv
2
8a
(3)
La fonction H(a) passe par un minimum pour a 0 = mv/2 , d’où :
H(a 0 ) =
v
2
(4)
On doit avoir H(a 0 ) E 0 . Pour la fonction d’essai w a (x), on obtient la valeur exacte
de l’énergie de l’oscillateur harmonique dans son état fondamental. Ceci tient au fait que
la famille de fonctions choisies w a (x) dépendant du paramètre a est précisément celle qui
comporte la fonction d’onde exacte de l’oscillateur, à savoir, une fonction de Gauss.
2. Tout vecteur |w décrivant un état de l’oscillateur harmonique s’écrit sur la base {|c n } :
|w =
n
c n |c n
(5)
Si |w b est un vecteur orthogonal à |c 0 , on a : w b |c 0 = |c 0 |
2 = 0. L’expression (8.2.3)
s’écrit alors en sommant à partir de k = 1, d’où :
w| H |w =
∞
k=1
|c k |
2 E k E 1
∞
k=1
|c k |
2
(6)
On a donc : H E 1 .
3. L’intégrale w a |w b =
∞
−∞
xe
−bx
2
e
−ax
2
dx a pour intégrande une fonction impaire qui est
le produit de deux fonctions paires par une fonction impaire. Cette intégrale est donc nulle et
les fonctions w a et w b sont orthogonales.
4. On obtient :
H(b) =
3
2 b
2m
+
3mv
2
8b
(7)
La dérivée s’annule pour b 0 = mv/2 , d’où : H(b 0 ) = 3 v/2. On obtient de nouveau la
valeur exacte de E 1 car w b est également une famille de fonctions dont fait partie la solution
exacte de l’oscillateur harmonique.
5. Le calcul de H(g) nous donne :
H(g) =
2
4mg
+
mv
2 g
2
(8)